Methode der gleichen Zenitdistanzen (Spezialfall der Höhenstandlinienmethode).

Bei Durchgangsbeobachtungen der Sterne am gleichen Höhenkreis, sollten alle Standlinien den Mittel- bzw. Zenitpunkt des gewählten Höhenkreises im Idealfall exakt schneiden.
Da nur die genäherte Zenitdistanz (zn) bekannt ist, auf die das Meßinstrument zeigt, erhält man nicht die wahren, sondern die um den konstanten Fehlbetrag (dz) verschobenen Standlinien. Der Wahre Zenit bildet dann der Mittelpunkt eines Kreises, der sich den Standlinien am besten anpasst. Der Kreisradius entspricht dem Wert des Zenitfehlbetrags dz.
Das erstmals von Gauß angegebene Verfahren, liegt der Durchgangsbeobachtung von mindestens 3 Sternen durch den gleichen Höhenkreis (Almukanterat) zugrunde. Für die konstante Zenitdistanz (zo) des Instruments wird ein Näherungswert (zn) eingesetzt.

Wahre Zenitdistanz (zo) der Fadenkreuzmitte bei einer bestimmten Lage der Libellen:
zo=zn+dz+R; zn=von Refraktion befreite genäherte Zenitdistanzkonstante des Instruments, dz=Zenitdistanzkorrekturwert (dz=zn+R-zo),
R=Refraktionskorrektur, zo=wahre Zenitdistanz des Instruments (zo mit Refraktion behaftet).
br,lr=ungefähre geographische Breite und Länge; tw=Stundenwinkel eines Sterns, osz=Ortssternzeit für die ungefähr bekannte Länge lr und den registrierten Durchgangszeitpunkt eines Sterns; dek,ar=scheinbare Deklin. und Rektaszension eines Sterns, Äquinoktium des Datums (Durchgangszeitpunkt). tw=osz-ar. Berechnete Zenitdistanz (zr) und Azimut (azr) eines Sterns:

zr=arccos(sin(br)*sin(dek)+cos(br)*cos(dek)*cos(tw))
y=(cos(dek)*sin(tw))/sin(zr)
x=(sin(br)*cos(dek)*cos(tw)-cos(br)*sin(dek))/sin(zr)
azr=ARCTAN(y/(1+x))*2 (a negativ, 360 Grad addieren)
zg=zn+R; zg=Zenitdistanzkonstante zn von Refraktion (R) befreit.

Durch die für die beobachtete Durchgangszeit berechneten Sternpositionen (dek,ar,zr,azr) wird der bestangeglichene Höhenkreis gelegt, dessen Mittel- bzw. Zenitpunkt der geographischen Breite (br) und Länge (lr) entspricht (Fig. 45).

Fehler- bzw. Bedingungsgleichung eines Sterns (1,2,3,...,n Sterne).
Beobachtete minus berechnete Zenitdistanz:
(zg-zr(n))=sin(azr(n))*dlr*cos(br)+cos(azr(n))*dbr-dz
dbr,dlr*cos(br),dz=Korrekturgrößen in geographischer Breite (br=br+dbr), Länge (lr=lr+dlr/cos(br)) und Zenitdistanzkorrekturwert (zo=zn+dz+R).
Korrektion dlr für tägliche Aberration: dlr+1.527163E-06*cos(zo) rad (=dlr+0.021 Zeitsek.; 1 Zeitsek. = 15 ''; zo=Zenitdistanz).

Akkumulation (Koeffizient -1 für dz):
Anzahl Sterne bzw. Bedingungsgleichungen 1,2,3,...,n
xx=xx+sin(azr(n))*sin(azr(n))
xy=xy+cos(azr(n))*sin(azr(n))
x=x-sin(azr(n)
xr=xr+sin(azr(n))*(zg-zr(n))
yy=yy+cos(azr(n))*cos(azr(n))
y=y-cos(azr(n))
yr=yr+cos(azr(n))*(zg-zr(n))
n1=n1-1
r(i)=r(i)-(zg-zr(n)) //RESIDUENVEKTOR

Normalgleichung für 3 Unbekannte:
[xx] dbr+[xy] dlr*cos(br)+[x] dz = [xr],1,0,0
[xy] dbr+[yy] dlr*cos(br)+[y] dz = [yr],0,1,0
  [x] dbr+ [y] dlr*cos(br)+ n1 dz = [r],0,0,1

Numerisches Beispiel.
Beobachtung am 15. Juni 1980. Ungefähre Breite u. Länge br=50.1256°, lr=8.345°. Vorgegebene Zenitdistanz zn=60°, zg=60.027047° (zn) von Refraktion befreit.

Zeitregistrierung (UT) von 9 Sternen durch denselben Höhenkreis des Instruments:

1. Omikron Leonis Minoris: 22^h05^m30.43^s UT
2. Omikron Ursae Maioris..: 22^h16^m06.12^s UT
3. Epsilon Virginis..............: 22^h26^m49.84^s UT
4. Zeta Deplhini...................: 22^h29^m47.95^s UT
5. Delta Cassiopeiae............: 23^h22 ^m20.51^s UT
6. Eta Pegasi........................: 23^h26^m28.64^s UT
7. Theta Aquilae..................: 23^h42^m25.03^s UT
8. Epsilon Ophiuchi............: 23^h46^m10.32^s UT
9. Alpha Bootis...................: 24^h20^m50.54^s UT

Resultat:

Astronomische Breite: 50.19138° mittl. Fehler  ±0.000139°
Astronomische  Länge:  8.23357° mittl. Fehler ±0.00010°
Wahre Zenitdistanz: 58.88109° mittl. Fehler ±0.00008°.
Fehlerquadratsumme: 6.3795E-09°.

Die nach erstem Programmdurchlauf ausgegebene Breite und Länge wird schrittweise (iterativ) verbessert, wenn man diese solange erneut eingibt, bis die letzten Nachkommenstellen keine Änderung mehr erfrahren.
Zenitdistanz der vorgegebenen Instrumenteinstellung: zo=58.881°. Auf 50.19143° astronom. Br. u. 8.23373° Länge passierten die 9 Sterne zu den beobachteten Uhrzeiten den Höhenkreis 90° - 58.881° = h 31.119°.
Die sich aus der unmittelbaren Beobachtung ergebenden astronom.-geographischen Koordinaten, die für den aktuellen Nordpol (CEP) der Beobachtungsepoche gelten, sind auf den mittleren Erdpol (CIO) zu reduzieren.

Korrektur vom aktuellen (CEP) auf den mittl. Pol (CIO)

Mittl. azm = Azimut az - (x sin(lr) + y cos(lr))/cos(br) (Azimute terrestrischer Ziele mit Theodoliten o.ä.).
Mittl. astronom. Br. br_m = br + (y sin(lr) - x cos(lr))
Mittl. astronom. L.  lr_m = lr - (x sin(lr) + y cos(lr))*tan(br)

OPENW #1,200,200,640,400,1
REM GFA44 ZENITPOS
REM GFA-BASIC WINDOWS 3.1/95 PROGR. ZENITPOS
DEFFN gzb(x) = FN deg(ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))) //Grad
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRADMASS
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRADMASS IN RAD
DEFFN r(x) = x - INT(x / (PI * 2)) * (PI * 2)
DIM ko(10,10),p(10,10),pp(10,10),kof(10,10),a(11),b(11),c(11),d(11)
REM ------------------------------
k = 20.49552 //ABERRATIONSKONSTANTE
k1 = FN rad(k / 3600)
REM ----- INPUT - PARAMETER ------------
n1 = 9 //EINTRAG ANZAHL VERMESSENER ANHALTSTERNE
REM ----------- KORREKTION FšR REFRAKTION -------------
tem = 20  //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN HÖHE ÜBER NN
mb = 1013 //EINTRAG LUFTDRUCK IN HÖHE eh METER ÜBER NN IN MILLIBAR (mb); k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
k = 0.000292731 * (mb / 1013.33) * (273.15 / (273.15 + tem))
REM -------------------------------------------
z = 60 //EINTRAG UNGEFHRE ZENITDISTANZ IN GRAD (VORGEGEBENER FESTER HÖHENKREIS h=30 GRAD)
r = k * TAN(FN rad(z)) //REFRAKTION IN ZENITDISTANZ z
zg = FN rad(z) + r
REM --------------------
a2 = 15   //EINGABE TAG
a3 = 6    //EINGABE MONAT
a4 = 1980 //EINGABE JAHR
ddt = 51 / 3600 //EINGABE EPHEMERIDENZEITKORREKTUR 51 SEKUNDEN FÜR 1980
GOSUB jd1 //JULIANISCHES DATUM JD
REM ------------------------------------------------
br = FN rad(50.1256) //EINGABE UNGEFÄHRE GEOGRAPH. BREITE
lr = 8.345         //EINGABE UNGEFÄHRE GEOGRAPH. LÄNGE IN GRAD
REM ------------------------------------------
RESTORE star
FOR i = 1 TO n1
  REM nr=KATALOGNUMMER,UT=WELTZEIT STERNDURCHGANG,do=DEKLINATION (GRAD),aro=REKTASZENSION (GRAD),dar=JÄHRL. EIGENBEWEGUNG IN REKTASZENSION (ZEITSEK.),dd=JÄHRL. EIGENBEWEGUNG IN DEKLINATION (BOGENSEK.)
  REM rv=RADIALGESCHWINDIGKEIT (km pro Sek.),
  REM p=JÄHRL. PARALLAXE STERN (BOGENSEK.), MAG=VISUELLE HELLIGKEIT AM ZENIT.
  READ nr,ut,do,aro,dar,dd,rv,p,mag //EINLESEN DER KATALOGÖRTER ÄQUINOKTIUM J2000
  REM FORMATION -------------------------
  jd1 = jd + (ut + ddt) / 24
  t = (jd1 - 2451545) / 36525
  GOSUB nut1
  REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre Länge der Sonne
  lms = FN r(4.895063 + 628.33196 * t)
  ms = FN r(6.24006 + 628.30196 * t )
  ls = FN r(lms + 0.03342 * SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms))
  REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne Äquinoktium des Datums JD
  ds = ASIN(SIN(ec) * SIN(ls))
  y = COS(ec) * SIN(ls)
  x = COS(ls)
  z = SQR(x ^ 2 + y ^ 2)
  x = x / z
  y = y / z
  ars = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
  REM e,rs,pe = Erdbahnexentrizität, Entf. Erde-Sonne, mittl. ekl. Länge des Perigäumes
  e = 0.01670862
  rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)
  pe = FN rad(102.937 + 0.71953 * t )
  REM -------------------------------
  t = (jd - 2451545) / 36525
  GOSUB osz1 //osz ORTSSTERNZEIT LÄNGE lr
  REM -----------------------
  rvo = rv / 977792.2218
  r = 1 / p //ENTFERNUNG DES STERNS IN PARSEC
  naro = dar / (((180 / PI) * 3600) / 15)
  ndo = dd / ((180 / PI) * 3600)
  do1 = FN rad(do)
  aro1 = FN rad(aro)
  REM -------- KART. 3D STERNKOORDINATEN -------
  x = r * COS(do1) * COS(aro1)
  y = r * COS(do1) * SIN(aro1)
  z = r * SIN(do1)
  REM --------- EIGENBEWEGUNG ---------
  t = (jd1 - 2451545) / 365.25
  xo = x + ((x / r) * rvo - z * ndo * COS(aro1) - y * naro) * t
  yo = y + ((y / r) * rvo - z * ndo * SIN(aro1) + x * naro) * t
  zo = z + ((z / r) * rvo + r * ndo * COS(do1)) * t
  REM ---- POLARKOORDINATEN DES STERNS ---------
  ro = SQR(xo ^ 2 + yo ^ 2 + zo ^ 2)
  do = ASIN(zo / ro)
  xx = xo / (ro * COS(do))
  yy = yo / (ro * COS(do))
  aro = FN r(ATN(yy / (1 + xx)) * 2)
  REM ----- PRÄZESSION AUF ÄQUINOKTIUM DES DATUMS ----------
  t = (jd1 - 2451545) / 36525
  w1 = FN rad((2306.22 * t) / 3600)
  w2 = FN rad((2306.22 * t) / 3600)
  w3 = FN rad((2004.31 * t) / 3600)
  d = ASIN(SIN(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) + COS(w3) * SIN(do))
  x = (COS(w3) * COS(do) * COS(aro + w1) - SIN(w3) * SIN(do)) / COS(d)
  y = (COS(do) * SIN(aro + w1)) / COS(d)
  ar = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
  do = d
  aro = ar
  REM REDUKTION AUF DEN SCHEINBAREN ORT
  REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------
  REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.
  abl = FN rad(0.0041 / 3600)
  elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(do) + COS(ds) * COS(do) * COS(aro - ars))
  ard = abl * COS(ds) * SIN(aro - ars) / (1 - COS(elo) * COS(do))
  ded = abl * (SIN(do) * COS(ds) * COS(aro - ars) - COS(do) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))
  REM ---------- JÄHRLICHE PARALLAXE  ----------
  apa = FN rad((rs * p * (COS(aro) * COS(ec) * SIN(ls) - SIN(aro) * COS(ls)) * (1 / COS(do))) / 3600)
  dpa = FN rad((rs * p * (COS(do) * SIN(ec) * SIN(ls) - COS(aro) * SIN(do) * COS(ls) - SIN(aro) * SIN(do) * COS(ec) * SIN(ls))) / 3600)
  REM ---------- NUTATION --------------------
  anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(aro) * TAN(do)) * FN rad(nu / 3600) - COS(aro) * TAN(do) * FN rad(nu1 / 3600)
  dnu = (SIN(ec) * COS(aro) * FN rad(nu / 3600) + SIN(aro) * FN rad(nu1 / 3600))
  REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------
  aab = -k1 * ((COS(aro) * COS(ls) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(ls)) / COS(do)) + e * k1 * ((COS(aro) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(aro) * SIN(pe)) / COS(do))
  dab=-k1*(COS(ls)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(ls))+e*k1*(COS(pe)*COS(ec)*(TAN(ec)*CO S(do)-SIN(aro)*SIN(do))+COS(aro)*SIN(do)*SIN(pe))
  REM --------------- TÄGL. ABERRATION ------
  ata = FN rad(0.32 / 3600) * (COS(FN gzb(br)) * COS(osz - aro) * (1 / COS(do)))
  dta = FN rad(0.32 / 3600) * SIN(FN gzb(br)) * SIN(osz - aro) * SIN(do)
  REM -------------- SCHEINBARER STERNORT --------------------
  dek = do + ded + dpa + dnu + dab + dta       //SCHEINBARE DEKLINATION STERN
  ar = FN r(aro + ard + apa + anu + aab + ata) //SCHEINBARE REKTASZENSION STERN
  REM ---------- ZENITDISTANZ UND AZIMUT (zr,azr) ---------
  zr = ACOS(SIN(br) * SIN(dek) + COS(br) * COS(dek) * COS(osz - ar))
  y = (COS(dek) * SIN(osz - ar)) / SIN(zr)
  x = (SIN(br) * COS(dek) * COS(osz - ar) - COS(br) * SIN(dek)) / SIN(zr)
  azr = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
  REM AKKUMULATION BEDINGUNGSGLEICHUNG-------
  kof(i,1) = SIN(azr)
  kof(i,2) = COS(azr)
  kof(i,3) = -1
  kof(i,4) = zg - zr //RESIDUEN
  REM ------ GRAFIK ----------------
  xo = 320
  yo = 200
  LINE xo,0,xo,400
  LINE 0,yo,640,yo
  x = -300 * SIN(azr)
  y = 300 * COS(azr)
  LINE xo,yo,xo + x,yo + y
  s = -FN deg(zg - zr) * 60
  x = -s * SIN(azr)
  y = s * COS(azr)
  // DEFFILL 1
  PCIRCLE xo - x,yo - y,2
  LINE xo,yo,xo - x,yo - y
  w = azr + PI / 2
  x1 = s * COS(w) - s * SIN(w)
  y1 = s * SIN(w) + s * COS(w)
  LINE xo - x,yo - y,xo - x1,yo - y1
  w = azr - PI * 2
  x1 = s * COS(w) - s * SIN(w)
  y1 = s * SIN(w) + s * COS(w)
  LINE xo - x,yo - y,xo - x1,yo - y1
NEXT i
REM AUSGLEICHSRECHNUNG (LEAST-SQUERE-FITS)
n = 3    //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE EINER BEDINGUNGSGLEICHUNG
m = 9    //EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN
REM NORMALGLEICHUNG p(i,j) ------------
FOR i = 1 TO n
  FOR j = 1 TO n + 1
    p(i,j) = 0
    FOR k = 1 TO m
      p(i,j) = p(i,j) + kof(k,i) * kof(k,j) //AKKUMULATION
      pp(i,j) = p(i,j)
    NEXT k
  NEXT j
NEXT i
FOR i = 1 TO n
  p(i,n + 1 + i) = 1 //RESIDUUM = 1
NEXT i
resi = 4  //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN DER NORMALGLEICHUNG
n = 3      //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = 3     //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN (m=n)
m = m + resi
GOSUB elim
dlr = ko(1,1)
dbr = ko(2,1)
dz = ko(3,1)
REM ------ FEHLERQUADRATSUMME -----------
x = 0
FOR i = 1 TO n1
  x = x + (kof(i,4)) ^ 2
NEXT i
vv1 = x - pp(1,4) * ko(1,1) - pp(2,4) * ko(2,1) - pp(3,4) * ko(3,1)
vv = 0
FOR i = 1 TO n1
  vv = vv + (kof(i,4) - (kof(i,1) * ko(1,1) + kof(i,2) * ko(2,1) + kof(i,3) * ko(3,1))) ^ 2
NEXT i
s = vv / (n1 - 3)
a = FN deg(SQR(s * ko(1,2)))
b = FN deg(SQR(s * ko(2,3)))
c = FN deg(SQR(s * ko(3,4)))
REM ---------------- OUTPUT ---------
ab = FN rad(0.021 * 15 / 3600) //KONSTANTE TÄGL. ABERRATION
PRINT "ASTRONOM. BREITE..: ";FN deg(br + dbr);" +/- ";b;"GRAD"
PRINT "ASTRONOM.  LÄNGE..: ";lr + FN deg(dlr / COS(br) + ab * COS(zg + dz));" +/- ";a;" GRAD"
PRINT "WAHRE ZENITDISTANZ: ";FN deg(zg + dz);" +/- ";c;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";FN deg(vv);" GRAD"
KEYGET HALT%
END
REM DATEI VERMESSENE STERNE
star:
DATA 138649,22.496652777,14.6741972,308.8272958,0.0036,0.009,-25,0.0263,4.68
DATA 75534,22.091786111,34.2148722,163.3279167,0.007,-0.278,-16,0.043,3.83
DATA 0,23.706952777,-0.8213888,302.82541667,0.002,0.01,-27,0.016,3.23
DATA 16654,22.2683667,60.7181777,127.566125,0.0182,-0.107,20,0.014,3.36
DATA 129529,22.4471777,10.9591333,195.544175,0.0185,0.02,-14,0.031,2.83
DATA 88121,23.44128889,30.2212555,340.7505958,0.0011,-0.025,4,0.018,2.94
DATA 199508,23.76953333,-4.6924972,244.580375,0.0057,0.041,-10,0.031,3.24
DATA 12969,23.37236389,60.2352667,21.4539958,0.04,-0.051,7,0.0526,2.68
DATA 130442,24.347372222,19.1824194,213.9153208,0.0771,-1.998,-5,0.091,-0.2
REM -------------------------------------------------------------
PROCEDURE jd1 //JULIAN. DATUM
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE osz1 //ORTSSTERNZEIT
  f8 = 6.697374558333 + 2400 * t + 0.05133690722222 * t
  f8 = f8 - INT(f8 / 24) * 24
  f9 = f8 + ut * 1.002737909 + lr / 15 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
  sz = f9 - INT(f9 / 24) * 24
  osz = FN rad(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE nut1 //NUTATION
  REM DELAUNAY-ELEMENTE
  d = FN r(5.198468 + 7771.37714 * t)
  ll = FN r(6.24006 + 628.3019555 * t)
  l = FN r(2.3555482 + 8328.691422 * t)
  f = FN r(1.627903 + 8433.46615813 * t)
  af = FN r(2.182438 - 33.757045 * t)
  REM NUTATION IN LÄNGE
  nu = -172000 * SIN(af) + 2060 * SIN(2 * af)  - 1320 * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 1430 * SIN(ll)
  nu = nu / 10000
  REM NUTATION IN SCHIEFE
  nu1 = 92025 * COS(af) - 895 * COS(2 * af) + 5740 * COS(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 220 * COS(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af)
  nu1 = nu1 / 10000
  ec = FN rad(23.4393)
  ec = ec + FN rad(nu1 / 3600)
RETURN
PROCEDURE elim
  FOR j = 1 TO n - 1         //GAUSS ELIMINATION
    nr = j
    no = ABS(p(j,j))
    FOR i = j + 1 TO n    //ZEILENPIVOT
      noo = ABS(p(i,j))
      EXIT IF (noo - no) < 0
      no = noo
      nr = i
    NEXT i
    IF nr = j THEN
      GOTO jum1
    ENDIF
    FOR i = j TO m + 1
      no = p(nr,i)
      p(nr,i) = p(j,i)
      p(j,i) = no
    NEXT i
    jum1:
    FOR i = j + 1 TO m + 1   //ELIMINATION
      p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
    NEXT i
    FOR i = j + 1 TO n
      FOR k = j + 1 TO m + 1
        p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
      NEXT k
    NEXT i
  NEXT j
  FOR i = 1 TO (m + 1) - n
    ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n)  //RÜCKSUBSTITUTION
    FOR k = 1 TO n - 1
      l = n - k
      ko(l,i) = p(l,n + i)
      FOR s = l + 1 TO n
        ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
      NEXT s
    NEXT k
  NEXT i
RETURN
CLOSEW #1

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