Sphärische Koordinaten des scheinbaren Radianten

Die Objekte eines Meteorschwarms beschreiben im Raum parallele Bahnen. Auf Grund des zentralperspektivischen Effekts (der bewirkt, daß z. B. Eisenbahnschienen nicht parallel, sondern perspektivisch zusammenzulaufen scheinen) scheint ein in die Atmosphäre eindringender dichter Schwarm von einem einzigen Punkt radial am Himmel auszustrahlen. Dieser Austrahlungspunkt nennt man den Radianten, wobei davon eigentlichen nur bei einem Meteorstrom die Rede sein kann. Zeichnet man einen Meteorschauer in eine Sternkarte (gnomonische Projektion), führt die rückwärtige Verlängerung der konvergierenden Bahnen auf den Radianten, der somit die Richtung festlegt aus der das Meteor zur Erde gelangt. In Radiantennähe aufleuchtende Meteorbahnen sind kürzer und die Winkelgeschwindigkeiten geringer. Der Globus berechnet Rektaszension u. Deklination, Höhe und Azimut des mittleren scheinbaren Radianten.

Deklination und Rektaszension (dr,arr) des scheinbaren Radianten

g,q=Winkel u. Länge des Schnittpunktes eines Meteorbahngroßkreises mit dem Himmelsäquator; d1,ar1,d2,ar2=Deklination und Rektaszension des Anfang- u. Endpunktes der Meteorspur, am besten nach der Methode der photographischen Ortsbestimmung; dekp,arp=Deklination u. Rektaszension des Pols eines Meteorbahngroßkreises.

 

Methode I.

Das von der Erde angezogene, von der ursprünglichen heliozentrischen Bahn abgelenkte Meteor, wechselt stets in eine geozentrische Hyperbelbahn über. Von dieser hyperbolischen Bahn wird nur das kleine, in der Atmosphäre aufleuchtende Bahnstück gesehen, das in allen Fällen als gradliniges Stück eines Großkreises angenommen werden kann.

Radiantenbestimmung aus zwei Richtungswinkel:

Bezeichnet da1,ara1,de1,are1 die Deklin. u. Rektaszension des Anfang- u. Endpunktes der Meteorspur der ersten Station  und da2,ara2,de2,are2 einer zweiten Station, gewinnt man die äquatorialen Koordinaten des Bahnpols (dp1,arp1) des Meteorbahngroßkreises der 1. Station durch:

Station 1:

y=sin(are1)/tan(de1) - sin(ara1)/tan(da1)
x=cos(are1)/tan(de1) - cos(ara1)/tan(da1)
arp1 = FN r(ATN(-(x/(1+y))*2-PI) = ATN(-1/(y/x)) = cotan -(y/x) //AR BAHNPOL 1
dp1=ATN(-cos(arp1-are1)/tan(db1))  //DEKLIN. BAHNPOL 1
dp1=ATN(-cos(arp1-ara1)/tan(d1))

Station 2.

y=sin(are2)/tan(de2) - sin(ara2)/tan(da2)
x=cos(are2)/tan(de2) - cos(ara2)/tan(da2)
arp2 = FN r(ATN(-(x/(1+y))*2-PI) //AR BAHNPOL 2
dp2=ATN(-(1/tan(de2))*cos(arp2-are2))   //DEKLIN. BAHNPOL 2
dp2=ATN(-(1/tan(da2))*cos(arp2-ara2))

Der Radiant ist der Pol des Großkreises, der durch die Pole (Deklin., AR=dp1,arp1,dp2,arp2) der beiden Meteorbahngroßkreise verläuft.

y=sin(arp1)/tan(dp1) - sin(arp2)/tan(dp2)
x=cos(arp1)/tan(dp1) - cos(arp2)/tan(dp2)
arr = FN r(ATN(-(x/(1+y))*2-PI)  //arr=REKTASZENSION RADIANT
dr=ATN(-cos(arr-arp1)/tan(dp1)) //dr=DEKLIN. RADIANT
dr=ATN(-cos(arr-arp2)/tan(dp2))

Radianten aus Vermessung der Bahnspur

Statt aus zwei, läßt sich der Pol eines Meteorbahngroßkreises aus n-gemessenen Bahnkoordinaten durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate gewinnen. Man berechnet die äquatorialen Koordinaten [d(n),ar(n)] von n-Punkten auf der Meteorbahn einer Station direkt oder aus der Großkreisgleichung:

tan(d(i))/cos(ar(i)) = b tan(ar(i)) + a (i=1,2,3...,n).

Mit einer Serienmessung äquatorialer Koordinatenpunkte (d=Deklin.,ar=Rektaszension) entlang der Meteorspur, ergeben sich die ausgeglichenen Koordinaten der Meteorspur einer Station durch die folg. Großkreisgleichung:

tan(d)/cos(ar) = a + b tan(ar); d=ATN((b+tan(ar)+a)*cos(ar)).

y=tan(d(i))/cos(ar(i)), x=tan(ar(i)); i=1,2,3,...,n.

Akkumulation:

[x]   = S x1+x2+x3..
[y]   = S y1+y2+y3...
[x²]  = S x1*x1+x2*x2...
[xy] = S x1*y1+x2*y2+x3*y3...

Normalgleichung:

n    a [x]  b = [y]
[x] a [x²] b = [xy]

Die Koeffizienten a,b findet man nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Lineare Regression); d(i),ar(i)=n-Anzahl Punkte mit den ausgeglichenen Koordinaten Deklin. u. Rektaszension der aufgenommenen Meteorspur.

-cos(ar(1))/tan(d(1)) = A(1)
-cos(ar(2))/tan(d(2)) = A(2)
usw.  ........................
-cos(ar(n))/tan(d(n)) = A(n)

sin(ar(1))/tan(d(1)) =  B(1)
sin(ar(2))/tan(d(2)) =  B(2)
usw. ................................
sin(ar(n))/tan(d(n)) =  B(n)

Bedingungsgleichung:  (dp1,arp1=gesuchte Deklin.,AR Nordpol Meteorbahn Station 1)

tan(dp1)/cos(arp1) + B(1) tan(arp1) = A(1)
tan(dp1)/cos(arp1) + B(2) tan(arp1) = A(2)
tan(dp1)/cos(arp1) + B(3) tan(arp1) = A(3)
usw. ..............................................
tan(dp1)/cos(arp1) + B(n) tan(arp1) = A(n)

Akkumulation:

[A]   = S A(i)  = A(1)+A(2)+A(3)...
[B]   = S B(i)  = B(1)+B(2)+B(3)...
[B²]  = S B(i)² = B(1)*B(1)+B(2)*B(2)...
[BA] = S B(i) A(i) = B(1)*A(1)+B(2)*A(2)...

Normalgleichung (n=Anzahl Gleichungen):
  n*(1/cos(arp1))*tan(dp1)+[B] *tan(arp1) = [A]
[B]*(1/cos(arp1))*tan(dp1)+[B² ]*tan(arp1) = [BA]

ar=([A]*[B]-[BA]*n)/([B]*[B]-[B²]*n)
d=([A]*[B²]-[BA]*[B])/(n*[B²]-[B]*[B])
arp1=ATN(ar); d=(1/cos(rp1))*tan(dp1)
dp1=ATN(d/(1/cos(arp1))).

Probe:
PRINT n*d+[B]*ar,[A]
PRINT d*[B]+[B²]*ar,[BA]

y=[A]*[B]-[BA]*n
x=[B]*[B]-[B²]*n
s=SQR(x^2+y^2)
x=x/s
y/s/s
arp1=FN r(ATN(y/(1+x))*2)
dp1=ATN(d/(1/cos(arp1)))

Entsprechend sind die äquatorialen Polkoordinaten des Meteorbahngroßkreises der Station 2 (dp2,arp2) zu berechnen.
Der Radiant ist der Pol des Großkreises, der durch die Pole (dp1,arp1,dp2,arp2) der beiden Meteorbahngroßkreise verläuft.

y=sin(arp1)/tan(dp1) - sin(arp2)/tan(dp2)
x=cos(arp1)/tan(dp1) - cos(arp2)/tan(dp2)
s=sqr(x^2+y^2)
x=x/s
y=y/s
arr=FN r(-(x/(1+y))*2-PI) = cotan arr = -(y/x)  //arr=REKTASZENSION RADIANT

dr=ATN(-cos(arr-arp1)/tan(dp1))   //dr=DEKLINATION RADIANT
dr=ATN(-cos(arr-arp2)/tan(dp2))

Methode II.

tan(g) sin(ar1-q)=tan(d1)
tan(g) cos(ar1-q)=(tan(d2)-tan(d1)*cos(ar2-ar1))/(sin(ar2-ar1))
(Deklin., AR d1,ar1=Aufleuchtpunkt, d2,ar2=Verlöschpunkt)

y=tan(d1)
x=(tan(d2)-tan(d1)*cos(ar2-ar1))/(sin(ar2-ar1))
g=SQR(x^2+y^2)
x=x/g
y=y/g
q=FN r(ar1-ATN(y/(1+x))*2)
g=arctan(g)

Der Pol des Meteorbahn-Großkreises einer Station besitzt somit die Koordinaten dp=pi/2-g; arp=FN z(q-pi/2).

xo=ctg(dr) cos(arr)

yo=ctg(dr) sin(arr)
s=SQR(xo^2+yo^2)
x=xo/s
y=yo/s
drr=FN r(ATN(y/(1+x))*2) //DEKLINATION RADIANT
dr=atn(1/s)            //AR RADIANT
xo sin(q) sin(g) - yo cos(q) sin(g) + cos(g) = 0

Gleich:
xo sin(q) sin(g) - yo cos(q) sin(g) = -cos(g)
Gleich:
xo sin(q) sin(g) - yo cos(q) sin(g) = de-cos(g) //de=jeweilige Deklination eines Punktes der Meteorspur.

Bei nur 2 Beobachtungsorten (Richtungwinkel) sind die 2 linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (xa-yb+c=0) streng aufzulösen. Liegen dagegen die äquatorialen Koordinaten (d1,ar1,d2,ar2) des Anfang- u. Endpunktes der Meteorspur einer größeren Anzahl Beobachtungsorte vor, ist der wahrscheinlichste Wert nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu ermitteln.

a(n) =  sin(q(n)) sin(g(n))
b(n) = -cos(q(n)) sin(g(n))
c(n) = -cos(g(n))  (n=1,2,3...)

Anzahl Gleichungssysteme = Anzahl der Beobachtungsstationen.

Akkumulation:

[a²] = S a(1)*a(1)+a(2)*a(2)...
[ab] = S a(1)*b(1)+a2*b(2)+a(3)*b(3)...
[b²] = S b(1)*b(1)+b(2)*b(2)+b(3)*b(3)...
[ac] = S a(1)*c(1)+a(2)*c(2)+a(3)*(c3)...
[bc] = S b(1)*c(1)+b(2)*c(2)+b(3)*c(3)...

Normalgleichung für zwei Unbekannte xo,yo:

[a²] xo + [ab] yo = [ac]
[ab] xo + [b²] yo = [bc]

Die ermittelten Koordinaten des Radianten (dr,arr) sind streng für das Äquinoktium des Datums gültig (im allg. für den Zeitpunkt des Maximums der Stromaktivität).
Da sich die Koordinaten des Radianten mit der Bahnbewegung der Erde lfd. ändern, gehört zum Datum des Radianten die Angabe der ekl. Länge (lo) der Sonne (=ekl. Länge der Erde ± 180 Grad). Der Radiant und die ekl. Länge der Sonne (lo), Äquinoktium des Datums, werden schließlich auf das Äquinoktium der Standardepoche B1950 oder J2000 bezogen. 

Sollte die Rechnung den um 180 Grad abweichenden Antiradianten ergeben, sind die Koordinaten um 180 Grad zu ändern. Da der beobachtete Radiant stets über dem Horizont liegt, ergibt sich die Radiantenhöhe (hr) aus:

hr=ASIN(sin(b)*sin(dr)+cos(b)*cos(dr)*cos(osz-arr)).
IF hr>0 THEN
dr=-dr   //RADIANT um 180 GAD (=PI RAD) geändert
arr=FN r(arr+PI)
ENDIF

Das folg. Progr. bezieht die auf das Äquinoktium des Datums bezogenen Koordinaten des Radianten (dr, arr,lo) auf J2000 v.v.

REM GFA39
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
REM EINTRAG DATUM -------------------
a4 = 1990   //EINTRAG JAHR
a3 = 12     //EINTRAG MONAT
a2 = 1      //EINTRAG TAG
REM EINTRAG UHRZEIT (UT = h,m,s) -------------
ut = 14 + 22 / 60 + 21 / 3600  //(= 14 Uhr 22 Min. 21 Sek. UT)
GOSUB jd
REM ------------------------
dr = RAD(58)   //EINTRAG DEKLINATION   SCHEINBARER RADIANT, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
arr = RAD(46)  //EINTRAG REKTASZENSION SCHEINBARER RADIANT, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
lo = RAD(140)  //EINTRAG EKL. LÄNGE DER SONNE, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
t = ((jd + ut / 24) - 2451545) / 36525
t2 = (2451545 - (jd + ut / 24)) / 36525
GOSUB pr
PRINT "MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000: 1.1.2000 12h"
PRINT "DEK.: ";DEG(do);", AR: ";DEG(aro);", Lo: ";DEG(lo);" GRAD"
REM ---------------------
t = (2451545 - 2451545) / 36525
t2 = ((jd + ut / 24) - 2451545) / 36525
dr = do    //EINTRAG DEKLINATION   SCHEINBARER RADIANT, ÄQUINOKTIUM J2000
arr = aro  //EINTRAG REKTASZENSION SCHEINBARER RADIANT, ÄQUINOKTIUM J2000
lo = lo    //EINTRAG EKL. LÄNGE DER SONNE, ÄQUINOKTIUM J2000
GOSUB pr
PRINT
PRINT "MITTL. ÄQUINOKTIUM DES DATUMS: ";a2;".";a3;".";a4;"  ";ut;" h  UT"
PRINT "DEK.: ";DEG(do);", AR: ";DEG(aro);", Lo: ";DEG(lo);" GRAD"
KEYGET HALT%
END
PROCEDURE pr  //PRÄZESSION J2000/FK5
  w1 = RAD(((2306.22 + 1.4 * t) * t2 + 0.3 * t2 * t2) / 3600)
  w2 = RAD(((2306.22 + 1.4 * t) * t2 + 1.1 * t2 * t2) / 3600)
  w3 = RAD(((2004.31 - 0.85 * t) * t2 - 0.43 * t2 * t2) / 3600)
  do = ASIN(SIN(w3) * COS(dr) * COS(arr + w1) + COS(w3) * SIN(dr))
  x = (COS(w3) * COS(dr) * COS(arr + w1) - SIN(w3) * SIN(dr)) / COS(do)
  y = (COS(dr) * SIN(arr + w1)) / COS(do)
  aro = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
  lo = FN r(lo + RAD((1.3969713+ 0.000617294 * t) * t2))
RETURN
PROCEDURE jd
  jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN



Ephemeride (tägl. Drift) des scheinbaren Radianten

Die Erde bewegt sich täglich um rund 1 Grad nach Osten, wodurch auch der Radiant gegenüber dem Himmelshintergrund um rund 1 Grad nach Osten zu driften scheint.
Die jeweilige Radiantenposition in Differenz zum Bezugsdatum (Maximun der Stromaktivität), ist präziser nur mit direkt gemessenen oder ausgeglichenen Driftraten zu berechnen. Die tägl. Rate (z. B. des Perseiden-Radianten: in AR +1.35°, in Deklin. +0.12°, ab Max. 12. Aug.) wird entweder direkt auf double-station Photographien gemessen, oder, wenn nur wenige Radiantenpositionen vorliegen, durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt, indem durch die Meßpunkte eine Ausgleichsgerade gelegt wird. Bedigungsleichung: tan(d)/cos(ar)=a+b*tan(ar); ar=Rektaszension, d=Deklination Radiant.

Bei sehr langaktiven Strömen (z. B. Sagittariden) wird von einer Bewegung parallel zur Ekliptik ausgegangen. Die dann von einer täglichen Driftrate nicht mehr beschreibaren Positionen werden in Tabellenform vermerkt.

Korrektion der Bahngeschwindigkeit aufgrund atmosphärischer Reibung

Um die in der Erdatmosphäre beobachtete Geschwindigkeit (vo) zu erhalten, ist die photographisch dokumentiere vom Shutter in Zeitintervalle (Segmente) zerhackte Bahnspur exakt auszumessen (Fig. 31).
Bei 50 mm Objektivbrennweite, einem Shutter mit einem Flügel (Hälfte der Kreisfläche) und 600 UpM (Umdrehungen pro Minute), erhält man 10 Unterbrechungen der scheinbaren Meteorbahn pro Sekunde (1 Rotation 0.1 Sek.), wobei ein Bahnstück je 0.05 Sek. lang belichtet und 0.05 Sek. lang unterbrochen wird.

Statt des Anfangs- u. Endpunktes der Bahn (Aufleucht- u. Verlöschpunkt) »L«, sind hier die einzelnen belichteten und unbelichteten Intervallängen der zerhackten Meteorspur zu bestimmen (Länge Segment L₁ km, Länge Segment L₂ km, Länge Segment n L_n km) und die jeweilige Länge (L_n) des belichteten bzw. unbelichteten Segmentes durch das Zeitintervall (z. B. dt=0.05 Sek. bei 600 r.p.m.) zu dividieren, woraus sich die Bahngeschwindigkeit (vo) und Abbremsung (dv/dt) in der Mitte  der Bahn ergibt, oder am Anfang, am Punkt der max. Helligkeit oder am Ende der Bahnspur.
Beispiel (Fig. 31): Bahngeschwindigkeit des am Anfang durchflogenen Segmentes 73.43 km/s und des mittleren Segmentes vo=58.74 km/s. Abbremsung in der Mitte der Bahn: 58.74-73.43 = (dv/dt) -14.69 km/s.

H=(R/(m*g))*T; H=die sog. Skalen- oder Maßstabhöhe (Höhe einer homogenen Atmosphäre), g=Schwerebeschleunigung, T=absolute Temperatur, R=absolute Gaskonstante, m=Molekulargewicht.
(dv/dt)=Verlangsamung (deceleration) des Meteors durch die Erdatmosphäre (in km/s²) für die Mitte der Bahnspur; cos(zr)=Cosinus der Zenitdistanz des Radianten; vo= Meteorgeschwindigkeit für die Mitte der Bahnspur.
Zenitdistanz des scheinbaren Radianten: cos(zr)=sin(b)*sin(dr)+cos(b)*cos(dr)*cos(osz-arr); b=geograph. Breite; osz=Ortssternzeit, dr,arr=Deklin. u. AR des scheinbaren Radianten.
Standardwert: H=8.77193 km und T=300 Grad Kelvin. Ungebremste Bahngeschwindigkeit des Meteors (v) vor Eintritt in die Erdatmosphäre:
v=vo*(1-H*(dv/dt)/(vo²*cos(zr)))

Beispiel. Verlangsamung (dv/dt)=-3.1 km/sec², vo=30.12 km/sec (für die Mitte der Bahnspur), cos(zr)=0.6783.

v 31.45 km/s=30.12*(1-8.77193*(-3.1/(30.12^2*0.6783))).

Korrektion der Bahngeschwindigkeit auf eine nicht rotierende Erde

vgo=Å(v²+w²-2 v w cos(p))
w=((2*PI*R)/T)*cos(b)
o=FN r(osz+PI/2)
p=acos(cos(dr)*cos(arr-o))

T=siderische (auf die Sterne bezogene) Rotationsperiode der Erde = 86164.09054 Sek. R=6378.137 km Äquatorradius der Erde; b=geograph. Breite des Beobachtungsorts; w=0.4651 km/sec. Rotationsgsgechwindigkeit für einen Ort am Erdäquator (w=0.4561*cos(b) = für einen Ort der geographischen Breite b); osz=Ortssternzeit des Beobachtungsorts für den Aufleuchtzeitpunkt der Meteorerscheinung; p=Winkel zwischen der Horizonttangente (Fluchtpunkt der Erdrotation) w und der Radiantenrichtung; vgo=von der Erdrotation befreite Meteorgeschwindigkeit; v=ungebremste Meteorgeschwindigkeit außerhalb der Erdatmosphäre.

Korrektion der Bahngeschwindigkeit aufgrund der Erdanziehung

Auf der Erde herrscht eine Anziehungskraft (Schwerebeschleunigung) von g=9.78 m/sec, multipliziert mit dem Erddurchmesser (0.00978 km/sec * 6378.137 * 2 km) = Å124.7564 = 11.16944 km/s parabolische oder Entweichgeschwindigkeit. Die parabolische bzw. 2. kosmische Geschwindigkeitsstufe von 11.17 km/s muß ein Flugkörper mindestens erreichen, um das Erdanziehungsfeld verlassen zu können.

Die Geschwindigkeit (vgo) eines Meteors kann daher den Mindestwert von 11.17 km/s nicht unterschreiten, da ein in großer Entfernung relativ zur Erde ruhender Körper bereits durch die Erdanziehungskraft eine Geschwindigkeit von 11.17 km pro Sek. erreicht.
Ist vgo die für Erdrotation korrigierte Geschwindigkeit des Meteors außerhalb der Erdatmosphäre, erhält man die geozentrische Geschwindigkeit (vg) zu:

vg km/s=Å (vgo² km/s - 11.16944² km/s)

Korrektion des scheinbaren Radianten für Zenitattraktion

Geht die ursprüngliche heliozentrische Meteorbahn infolge der störenden Erdanziehung in eine geozentrische Hyperbelbahn über, wird das beschleunigte Meteor von seiner wahren Richtung abgelegt. Der Radiant erfährt dadurch eine geringfügige Zenitannäherung (Zenitattraktion), da das Meteor auf der eingeschlagenen geozentrischen Hyperbelbahn steiler fällt, als es auf der ursprünglichen Bahn ohne Anziehung fallen würde. Die Korrektion der Bahngeschwindigkeit für Erdanziehung wirkt sich daher auch auf den scheinbaren Radianten aus.

Die stets positive Zenitattraktion (dz) erhält dadurch den Wert:
dz=ATN(((vgo-vg)/(vgo+vg))*TAN(z/2))*2; z=berechnete Zenitdistanz des Radianten; zk=z+dz; zk=korrigierte Zenitdistanz.

Folg. Progr. berechnet die Korrektion für Zenitattraktion (dar,dd) im Äquatorialsystem.

DEFFN r(x)=x-INT(x/(2*PI))*(2*PI)
tw=osz-arr
IF tw=0 THEN
tw=0.0000000001
ENDIF
z=ACOS(SIN(b)*SIN(dr)+COS(b)*COS(dr)*COS(tw))
y=(COS(b)*SIN(tw))/SIN(z)
x=(SIN(b)*COS(dr)-COS(b)*SIN(dr)*COS(tw))/SIN(z)
c=FN r(ATN(y/(1+x))*2)
dar=-dz*SIN(c)*(1/COS(dr))
dd=-dz*COS(c)
arw1=FN r(arr+dar)
drw1=dr+dd

b,osz,tw=geographische Breite, Ortssternzeit einer Beobachtungsstation und Ortsstundenwinkel des Radianten; dr,arr=Deklin. u. AR des scheinbaren Radianten; z,c=Zenitdistanz und parallaktischer Winkel des scheinbaren Radianten; dz=Zenitattraktion des scheinbaren Radianten; dw1,arw1=Deklin. u. AR des um die Zenitattraktion korrigierten Radianten.

dd ist allzeit negativ, außer der Radiant liegt zwischen Zenit und Nordpol:
Ist sin(r)*cos(z)>sin(b), ist dd positiv zu nehmen.

Korrektion des scheinbaren Radianten für tägliche Aberration

Die Korrektion der Meteorgeschwindigkeit auf eine nicht rotierende Erde, bewirkt auch eine Korrektion des scheinbaren Radianten.
R=0.46383 km/s (=Erdradius 6378.137*2*PI/86400 Sek.); 86400 = Sekunden eines mittleren Tages. Die Winkelgeschwindigkeit verringert sich mit dem Cosinus der geographischen Breite und erreicht an den Erdpolen den Wert Null.

R=0.46383 (dar, dd in RAD) oder DEG(0.46383) = R 26.576 Grad = R 1594.53' Bogenminuten (dar, dd in GRAD); tw=osz-arr; b,tw=geographische Breite der Beobachtungsstation u. Ortsstundenwinkel des Radianten; drw1,arw1 = Deklin. u. AR des um die Zenitattraktion korrigierten scheinbaren Radianten; vgo = die für eine nicht rotierende Erde korrigierte Bahngeschwindigkeit des Meteors; drw2,arw2=Deklin. u. AR des um die tägliche Aberration korrigierten scheinbaren Radianten.

dar=-(R/vgo) cos(b) cos(tw) (1/cos(dr))
dd=-(R/vgo) cos(b) sin(tw) sin(dr)
arw2=FN r(arw1+dar)
drw2=drw1+dd

Apex der Erdbewegung

Apex (=Fluchtpunkt) der Erdbewegung (Fig. 36). Apex = ls wahre ekliptikale Länge der Sonne - 90 Grad
e=Erdbahnexentrizität; p=ekl. Länge des Perihels der Erdbahn; 0.000290888=tan 1'.

t2=(JD-2451545)/36525.
lms=FN r(4.895063+628.3319667861*t2) //mittl. ekl. Länge der Sonne
ms=FN r(6.24006+628.3019553261*t2) //mittl. Anomalie
//Mittelpunktsgleichung c
c=0.03342*SIN(ms)+0.00035*SIN(2*ms)
ls=FN r(lms+c) //genäherte ekl. Länge der Sonne (0.01 Grad).
e=0.016708617
p=FN r(1.796596+0.0125582*t2)
Ekliptikale Länge des Apex al (RAD):
tex=(RAD((e/0.000290888)/60))*SIN(ls-p).
al=FN r(ls-RAD(90)+tex)

Heliozentrische Bahngeschwindigkeit

Die wahre heliozentrische Bahngeschwindigkeit (vh) des Meteors findet man aus: vh=Å(vg²+vt ²-2 vg vt cos(z))

cos(z)=cos(bq)*cos(lq-al).
Oder: vh=Å(vg²+vt ²-2 vg vt cos(bq) cos(lq-al)).

bq, lq=ekliptikale Breite und Länge des wegen Zenitattraktion und täglichen Aberration korrigierten scheinbaren Radianten; al = ekl. Länge des Apex; vt=Erdbahngeschwindigkeit; vg=geozentrische Bahngeschwindigkeit des Meteors.

Die Bahngeschwindigkeit der Erde (vt) folgt aus: vt²=k²(2/r-1/a); r=heliozentrische Entfernung (Radiusvektor) eines Gestirns; a=halbe Apsidenlinie in Astronomischen Einheiten (große Halbachse der Bahn = mittlerer Abstand Gestirn-Sonne).

k=0.01720209895 (Gauss'sche Konstante) astronomische Einheiten pro Tag (1 Astronomische Einheit = 149597870 km) = 0.01720209895 mal 149597870 durch 86400 Sek. eine Tages = k 29.7847 km pro Sekunde.

vt (km/s)=Å(k 29.7847² * (2/rs-1)); rs=Radiusvektor Erde-Sonne in Astronomischen Einheiten.

t2=(JD-2451545)/36525
ms=FN r(6.24006+628.301956*t2) //Wahre Anomalie
c=0.03342*SIN(ms)+0.00035*SIN(2*ms) //Mittelpunktsgleichung
wa=FN r(ms+c) //wahre Anomalie
e=0.016708617 //Exentrizität Erdbahn
rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000) //rs=genäherte Entfernung Erde-Sonne (Radiusvektor) in Astronom. Einheiten

Mittlere Umlaufgeschwindigkeit der Erde lt. IAU-System: 29.7859 km/s (gegenwärtig bester Wert 29.784766966 km/s).

Wird die Gauss'sche Konstante k² = 1 gesetzt, ergibt sich die Geschwindigkeiten in Einheiten der mittleren Erdbahngeschwindigkeit (29.7847 km/s).

Die Multiplikation der mittleren Erdbahngeschwindigkeit 29.7847 km/s mit Å2, ergibt mit 42.1219 km/s die 3. kosmische Geschwindigkeitsstufe.
vh=42.1219 km/s ist die Mindestgeschwindgkeit eines Meteors in 1 Astronomischen Einheit (=Erdbahnabstand), um das Planetensystem verlassen zu können (heliozentrische Fluchtgeschwindigkeit).

Ein Meteor (gilt für einen Meteorschwarm gleichermaßen) mit der heliozentrischen Bahngeschwindigkeit vh=42.1219 km/s bewegt sich auf einer Parabelbahn (Bahnexentrizität e=1); bei größerer Geschwindigkeit (vh>42.1219 km/s) bewegt es sich auf einer Hyperbelbahn (e>1), und nahe der Parabelgeschwindigkeit (vh<42.1219 km/s) auf einer Ellipsenbahn (e ~ <1).

Die geozentrische Geschwindigkeit (29.7847+42.1219=) vg=71.91 km/s kann ein Meteor auf einer Ellipsenbahn somit nicht überschreiten. Wird ein höherer Wert (vg>72 km/s) gemessen, ist das aus irgendeinem Bezirk der Galaxis stammende Meteor auf einer Hyperbelbahn in das Sonnensystem eingedrungen.

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