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Planetograph. Breite von Objekten im Zentralmeridian
f=Abplattungswert (Mars f=0.0.00524); ee=2*f-f^2; q1=Ö(1-ee*COS(De)^2). wi=planetozentr. Deklin. der Erde (=Erhebung der Erde
über dem Planetenäquator = zur Erde gerichteter Neigungswinkel der Planetenachse). Gemessen wird hierbei nicht in der Ebene des Rektaszensionskreises (Nord-Sd-Richtung des Himmels), sondern innerhalb der Zentralmeridianebene des Planeten
(=planetare Nordpol-Sdpol-Richtung). Der Positionswinkel der Achse bleibt somit unbeachtet.
pd=in der Zentralmeridianebene des Planeten (x=0) mittels Fadenmikrometer von Nordrand zu Südrand (in der Zentralmeridianebene) gemessener
Polarhalbmesser (ph=pd/2), der sich numerisch aus ph=a*q1 ergibt (a=berechneter äquatorradius in Bogensek.).
y=mit Fadenmikrometer ab der scheinbaren (=sichtbaren) Planetenmitte innerhalb der Zentralmeridianebene (x=0) gemessene
Winkeldistanz eines Oberflächendetails (o). os=in der Zentralmeridianebene gemessene Winkeldistanz des Oberflächendetails (o) vom Südrand (s) des Planeten, on = vom Nordrand (n).
y=0.5*(os-on). Kontrolle: os=ph+y, on=ph-y
br=FN
deg(ATN(TAN(ASIN(y/ph)+ATN(TAN(wi)/(1-f)))/(1-f))); br=planetograph. Breite des Details in Grad [FN deg(x)=DEG(x)]; planetograph. Länge des Details = planetograph. Länge des Zentralmeridians.
NOMENKLATUR
Datum..................: 4.3.1988
Uhrzeit.................: 0 TT
Geograph. Breite...: 50°
Dynamische Länge: 7°
NN.....................: 100
Zeile 1 - 3: Auf den Sonnenmittelpunkt (heliozentr.) bezogene ekliptikale
Länge, Breite u. Entfernung des Mars (Entf. in astronom. Einheiten: 1 AE = 149.597870 Mill. km). Entfernung Mars-Sonne 1.52364 AE. Max. erreichbare heliozentr. ekl. Breite um 2°. (Heliozentr. geometr. Position ohne Lichtzeitkorrektur,
mittl. Äquinoktium des Datums).
Zeile 4-6: Auf den Erdmittelpunkt bezogene scheinbare ekl. Länge, Breite u. Entfernung, wahres Äquinoktium des Datums. Die Differenz zwischen heliozentr. u. geozentr. änge beträgt max. 48° (hier 37°, weil
die Erde areozentrisch (ares = areozentr. = auf den Marsmittelpunkt bezogen) bis zu 48°; Winkelabstand von der Sonne erreichen kann.
Geozentrisch (auf die Erdmitte bezogen) erreicht Mars eine max. ekl. Breite bis zu !7°. Die Entfernung vom Erdmittelpunkt beträgt am 4.3.1988 um 0h TT 1.61775 AE. Geozentr. Entfernung mit Lichtzeitkorrektur (amtliche Ephemeriden
enthalten dagegen die;
geometrischen [wahren] Entfernungen ohne Lichtzeitkorrektur).
Zeile 7-8: Auf den Erdäquator bezogene Koordinaten Rektaszension (AR) u. Deklination. Die scheinbare Rektaszension mißt ab wahrem Frühlingspunkt
parallel zur Äquatorebene. Die scheinbare Ortssternzeit (Zeile 14) zeigt den Wert des augenblickl. Rektaszensions- bzw. Stundenkreises im Nord-Sd-Kreis (11h15m53.2s). Stundenwinkel (t) = Ortssternzeit - Rektaszension (seit oberer
Kulmination vergangene Zeit). Stundenwinkel (t) 0h: Gestirn kulminiert im Süden im Orts- = Himmelsmeridian dessen geograph. oder dynamische Länge eingegeben wurde (Ortssternzeit = Rektaszension).
Stundenwinkel (t) des Mars:
Ortssternzeit 11h15m53.25s minus Rektaszension 18h31m07.2s = t -7.253875 Std. Die Ortssternzeit bzw. Rektaszension gewinnt nach Osten. In 7h15m13.95s Sternzeit bzw. 7.253875 Std. * 0.99726956 (Konvertierungsfaktor Sternzeit- in
Sonnenzeitma) = 7h14m2.65s mittl. Sonnenzeit + 53.24s Eigenbewegung des Planeten in Rektaszension dieser Zeit (stündl. Eigenbewegung +7.36 Sek.), passiert die Marsmitte um 7h14m55.9s TT den Nord-Sd-Kreis (obere Kulmination):
11h15m53.25s Ortssternzeit + 7h15m13.95s Stundenwinkel in Sternzeitma + 53.39s Eigenbewegung während dieser Zeit = um 18h32m00.6s Ortssternzeit). Eingabe: 4.3.1988, Uhrzeit 7.14559 TT, 50° n. Br., 7° dynam. Länge, Ortssternzeit =
Rektaszension = 18h32m00.6s.
Zeile 9-10: Mars -29°45'48'' unterhalb des Horizonts in Himmelsrichtung (Azimut) 272°02'08'' (Sden = 0°/360°, Westen = 90°, Norden = 180°, Osten = 270°. (Diese Höhen- u. Azimutwerte gelten für den wahren
Horizont ohne Refraktionskorrektur).
Zeile 11: Die Äquator-Horizontal-Parallaxe bezeichnet den halben Winkeldurchm. der Erde (= 6378.14 km) von Mars gesehen.
Zeile 12-13: Geographische Breite u. Länge des Ortes mit Mars am Zenit
(Sub-Mars Ort). Dieser Ort bildet, gesehen von Mars, die scheinb. Erdmitte (Projektion des Mars auf die Erdmitte, gesehen von Mars. Dynamische geograph. Länge nach Eingabe dynam. Zeit [TT]).
Zeile 15-21 wie 4-10, aber auf den jeweiligen Beobachtungsstandort + Seehöhe (NN) bezogen.
Mars geht ab -0°34' Hhe auf bzw. unter. Infolge der Brechungswirkung dichter Luftschichten (Refraktion), tritt in Horizontnähe eine Erhhung der
Gestirne um 34' ein. Geometr. geht Mars bei 0° auf bzw. unter, wird aber dann in ~ +0°34' beobachtet.
Die topozentr. Höhenangaben (mit tägl. Aberration) gelten für den scheinbaren bzw. mathematischen Horizont (Meeresspiegelhöhe).
Die Kimm liegt z. B. bei 100 Meter Augeshöhe ber NN 1.925' * Å100 m = 19' (Kimmtiefe) unter dem scheinbaren Horizont
für Augeshöhe 0 Meter (Meerespiegelhhe). Mittl. Refraktion in entsprechender Kimmtiefe bzw. Augeshhe: 0.31' * ÅNN. Bei
100 m ber NN = 3.1'. Auf- bzw. Untergang am sichtbaren Horizont (Kimm) somit bei -0°34' - 3.1' mittl. Refraktion - 19' mittl. Kimmtiefe = -0°56' topozentr. Höhenanzeige. Über Land versperrt jedoch der natürliche Landschaftshorizont die
direkte Sicht der auf dem Meer frei sichtbaren Kimm.
Zeile 22: Julianische Tageszählung ab 1.1.4713 v. Chr., 12 Uhr.
Zeile 23: Areographische Breite der Erde über dem Marsäquator (Sub-Erde Punkt). Am 4.3.1988 0h TT (terrestrial time)
befindet sich die Erde -6.18° südl. unterhalb des Marsäquators bzw. weist der Marsnordpol diesen Neigungswinkel auf (= Koordinaten des Projektionspunktes der Erde auf den scheinb. Marsmittelpunkt, gesehen von der Erde).
Zeile 24: Der
Zentralmeridian verläuft genau durch den scheinbaren Mittelpunkt des Planeten, gesehen von der Erde (Phase unbercksichtigt). Der areograph. Zentralmeridian (hier 50.88°) ist gleich dem Stundenwinkel des Zenitortes der Erde (Sub-Erde Ort
auf Mars = scheinb. Mittelpukt des Mars, gesehen von der Erde). Umgekehrt ist der geozentr. Stundenwinkel des Mars (t = Ortssternzeit Greenwich - Rektaszension) gleich dem sichtbaren Zentralmeridian der Erde von Mars aus gesehen (=
Sub-Mars Ort auf der Erde im scheinbare Mittelpunkt der Erde von Mars aus gesehen). Jeweilige geograph. Länge des Zentralmeridians der Erde von Mars aus gesehen nach Zeile 13 (+115°48'30'' östl. Länge), wobei der Südpol der Erde (Deklin.
des Mars) -23°35'03'' geneigt ist (Koordinaten des Projektionspunktes des Mars auf die scheinbaren Erdmitte von Mars aus gesehen = Sub-Mars Ort). Kulminiert ein Planet im Ortsmeridian, bildet diese geograph. oder dynamische Länge den von
dort aus sichtbaren Zentralmeridian der Erde. Die auf Mars beobachtbare irdische Achsenneigung ist gleich dem Wert seiner geozentr. Deklination (Zeile 12).
Die Rektaszension u. Deklination des Mars-Nordpols beträgt AR 317.7°,
Deklin. +52.9° (Epoche J2000). Der höchste Punkt des Marsäquators über dem Erdäquator liegt somit bei 90° - 52.9° = +37.1° Deklin., 317.7° - 180° = 137.7° Rektaszension (= AR = Ascensio recta = Gerade Aufsteigung), der tiefste Punkt des
Marsäquators unterhalb des Erdäquators bei Deklin. -37.1°, AR 317.7°. Die zwei Schnittpunkte des Mars„quators mit dem Erdäquator liegen somit bei AR 317.7°! 90° = 0° Deklin, AR 227.7° u. 0° Deklin., AR 47.7° (= aufsteigender Knoten).
Der Großkreis des Marsäquators verläuft demnach durch die 4 Hauptpunkte in einem Winkel von 37.1° gegen
den Erdäquator. Am 1.6.2001 um 0 Uhr TT beträgt die geozentr. AR des Mars 266°05' (= 17h44m20.9s AR [Vollkreis 360° = 24h]), Deklin. -25°53'.
Die Erde erscheint vor dem von Mars sichtbaren Sternenhintergrund bei diametraler
Marskoordinate (geozentr. Marsdeklin. mit umgekehrtem Vorzeichen u. Rektaszension in Grad !180°), wobei der Marsnordpol nördl.
des Sterns Deneb (Alpha Cygni) liegt. Die Erde befindet sich daher bei AR 86°05', Deklin. +25°53', gesehen von Mars.
Der aufsteigende Knoten J, N1 des Mars-/Erdäquator liegt bei 0° Deklin., AR 47.7°. Der höchste Punkt bei +37.1° Deklin., AR 137.7°. Die Erdposition mit AR 86°05 u. Deklin. +25°53' liegt somit auf dem Marsäuquator (=
areograph. Breite der Erde über dem Marsäquator daher rund 0°.
Der auf Mars beobachtbare Positionswinkel der Erdachse gegen die marsianische Nord-Sd-Richtung, entspricht der Differenz der sphärischen Winkellagen zwischen dem irdischen
Nordpol (AR 0°, Deklin. 90°) und dem Marsnordpol (AR 317.7°, Deklin. +52.9°).
Da der Sternenhimmel des Mars sich um diesen Punkt dreht, liegt der Himmelsnordpol der Erde (Sternbild Kleiner Bär) zu Mittag Ortszeit auf Mars am Osthimmel.
Die Erdachse ist demnach am 1.6.2001 nach Osten gegen die örtl. Nord-Sd-Richtung auf Mars geneigt.
Am 17.6.2001 beginnt um 19.3 Uhr TT der Herbst der Nordhemipshäre. Die areograph. Deklin. der Sonne (Abweichung vom Marsäquator)
erreicht 0°. Die heliozentrische AR u. Deklin. des Mars beträgt dann 264°34', -24°25'.
Die Sonne, die am Sternenhintergrund des Mars bei der diametralen Koordinate 84°34', Deklin. +24°25' erscheint, passiert dann wie die Erde den
Marsäquator.
Zeile 25: Beleuchteter Teil des Mars: 1 = Marskugel zu 100 % beleuchtet, 0.90 = zu 90 % beleuchtet usw.
Zeile 26-27: äquatorialer (a) u. polarer (b) scheinbarer Winkeldurchmesser des Planeten.
Zeile 28 - 29:
Geometrischer Phasenwinkel (unbeleuchtete Phase), hier z. B. 36.65°, oder in Einheiten des planetaren Winkeldurchmessers (Lichtdefekt) 0.57'' (Bogensekunden).
Zeile 30: Geometrischer Positionswinkel der unbeleuchteten Phase (266.77°).
Zeile 31: Positionswinkel der Achse (hier 22.89°).
Zeile 32: Parallaktischer Winkel. Positionswinkel am Gestirn zwischen Nord- u. Zenitrichtung. (Positionswinkel stets ab Norden entgegen dem Uhrzeigerinn 0 bis 360 Grad)
Zeile 33: Zenithelligkeit (hier +1 mag).
Zeile 34-35: Areographische Breite der Sonne (Sonnenstand +10.27° über dem Marsäquator). Heliozentrisch sichtbarer Zentralmeridian des Mars (scheinbarer Mitteöpunkt des Mars von der Sonne aus
gesehen). Sub-Solar Ort.
Zeile 36: Geozentrische ekliptikale Sonnenlänge, wahres Äquinoktium des Datums.
Zeile 37-38: Geozentrische Höhe u. Azimut der Sonne, wahrer Horizont (ohne Refraktion).
Zeile 39-40: Areozentr. Deklination der Sonne (Abweichung der Sonne 14.14° vom Marsäquator).
Areozentr. Länge der Sonne auf der Marsbahn (Marsekliptik) 155.58°.
Areographische Angaben sind Kugelkoordinaten des Planeten; denn nur so
ist eine areograph. Breitenangabe gleich der Höhe des Nordpols über dem Horizont, wobei Lotrichtungen bei abgeplatteten Planeten nur am Äquator oder an den Polen genau in Richtung Planetenzentrum weisen. Areozentrische Angaben beziehen
sich dagegen genau auf das Zentrum eines abgeplatteten Planeten.
Zeile 41: Rechtwinklige geozentr. äquatoriale Marskoordinaten x,y,z zum mittl. Äquinoktium des Datums (links), Anfang des Bessel-Jahres 1950.0 (B1950) und mittl.
Äquinoktium J2000.
Zeile 44: Zeitkorrektion (DT = TT - UT) in Zeitsekunden.
Zeile 45: Lichtzeit Mars-Erde in Minuten (hier
braucht das 299792.458 km pro Sek. schnelle Licht des Mars zur Erreichung der Erde 13.4545 Min.).
 Mondbahnkurven
Heliozentr. bzw. geozentr. Mondbahnkurven als Sinuswellen (mit fld. Datum- u. Uhrzeitanzeige). Die Schnittpunkte der Sinuskurven mit dem Planeten oder untereinander,
bilden die heliozentr. oder geozentr. oberen bzw. unteren Konjunktionen der Monde, die Amplituden ihre westl. u. stl. Elongationen. Marswiedergabe als Äquatorialband. Mondbahnkurven in äquatorparaller Projektion. Die Monde umlaufen den
Planeten aufgrund der Eigenbewegung wendelförmig. Wegen der Eigenbewegung der Sonne umlaufen die Planeten das Zentralgestirn ebenfalls auf wendelförmigen Bahnen.
Sternbedeckung
Datum u. Uhrzeit der
Konjunktion in Rektaszension. Dynamische (geographische) Länge des Saturn für die Konjunktionszeit. Geograph. Breite der nördl. u. südl. Sichtbarkeitsgrenze. (Bei Rückläufigkeit [R] können bis zu 3 Konjunktionen vorkommen).
Die gemessene Distanz des Objekts vom Gestirnsmittelpunkt sei >s< in Bogensekunden, die relative Verschiebung des Objekts gegen die Gestirnsmitte l in Bogensekunden pro Minute und >so< die Minimaldistanz zwischen Gestirnsmittelpunkt und Objekt. Ausgleichsrechnung (Lineare Regression s. “Sternbeobachtung”).
Bedingungsgleichung: s
2 = so2 + l2 (t-To)2. t
=Beobachtungszeit in Minuten; To=Zeitpunkt der kleinsten Winkeldistanz Objekt-Gestirnsmitte. Bei richtigem To erreicht die Fehlerquadratsumme [vv] ein Minimum.
Mißt man vom nördl. (A) u. sdlichsten Schnittpunkt (B) des äquatorial ausgerichteten Fadenkreuzes mit dem Saturnrand aus, gilt:
Distanz AB=c, Distanz Stern-A=a, Distanz Stern B=b. s=Ö
(0.5*(a2+ b2 - 0.5*c2)). >s< ist dann die Distanz des
Sterns ab der Mitte der Verbindungssehne AB. Bei kugelförmigen Planeten erfolgt der Zeitpunkt des Ein- bzw. Austritts am Planetenrand, wenn s exakt den Wert des Planetenradius einnimmt (abgelpattete Planeten: s=Ö(x2+y2/(1-f)2); geometr. Ablattung Saturn f=0.1076209; x,y=kart. Koordinaten des Planetenrandes ab Planetenmittelpunkt).
Ausgleichsrechnung Polynom 2. Grades (siehe “Sternbeobachtung”): x=a+b*t+c*t2; y=a+b*t+c*t2. x,y=gemessene
rechtwinklige Koordinaten des Objektes ab dem Koordinatennullpunkt im Gestirnsmittelpunkt. t=Beobachtungszeit. To=t, wenn s die kleinste Distanz einnimmt. Winkeldistanz Objekt-Gestirnsmittelpunkt: s=Å(x*x+y*y). Positionswinkel des Objekts am Gestirnsmittelpunkt, ab ird. Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn 0-360 Grad
gemessen: x1=x/s, y1=y/s, p=ARCTAN(x1/(1+y1))*2; p<0 +360 Grad oder bei Rechnung in RAD PI*2 RAD addieren, wenn p negativ (p<0) ist. Bei Durchlauf des Planeten, tritt eine atmosphärische bedingte Helligkeitsänderung des Objekts ein.
Konjunktion/Bedeckung
Datum- u. Uhrzeitausgabe der Konj. Mars/jeweiliger Planet. Umlaufperiode Mars 360°/686.92971 jul. Tage,
Saturn 360°/10746.94044 Tage = mittl. Marsbewegung nm = 0.524071087° pro jul. Tag, Saturn ns = 0.033497905°.
Eine Mars-Saturn Konj. wiederholt sich demzufolge alle 360°/(nm - ns) = d 733.835467Tage (= 2.00913201 jul.
Jahre) im Intervall nm * d = 360° + 24.58195^°. Zwischen 1.1.-5000 (= -105192.5 jul. Tag) u. 1.1.8000 (= 4642999.5 jul. Tag) liegen heliozentr. 6470 Mars-Saturn Konjunktionen. Während der Rückläufigkeit (R) und der
Hin- u. Herbewegung können geozentrisch max. bis zu 3 Konjunktionen vorkommen.Tägliche Bewegung
Auf- u. Untergang, oberer und unterer Ortsmeridiandurchgang (Transit), obere u. untere größte tägl. Höhe
Auf-/Untergangszeit u. Zeitpunkt des oberen/unteren Meridiandurchgangs (mit Zirkummeridianhöhe) für jeden Ort der Erde. Erscheint > + < statt der Aufgangszeit, ist die Sonne kontinuierlich über dem Horizont, > - <,
kontinuierlich unter dem Horizont (bei Auf- u. Untergängen im Polargebiet möglich). Die Parallaxe, Refraktion (oder nach jeweiliger Eingabe), scheinbarer Saturnhalbmesser u. Höhe
über NN (Kimmtiefe) ist bercksichtigt.
Erfolgt keine Höheneingabe (NN = 0) bezieht den Auf- u. Untergangszeitpunkt auf den scheinbaren bzw. mathematischen Horizont (Augeshöhe 0 m), anderenfalls auf die Kimm (sichtbare Grenze des Himmels mit dem
Meeresspiegelniveau). Während der oberen Kulmination erreicht ein Gestirn südl. die max. Höhe ber dem Horizont, in unterer Kulm. seinen tiefsten Stand nördl. (Sdhalbkugel umgekehrt).
Der Zeitpunkt der Kulmination und der des Meridiandurchgangs (= Himmelsmeridian = eingegebene geograph. Länge bei UT bzw. dynamische Länge bzw. Ephemeridenlänge bei TT=terrestrial time bzw. Ephemeridenzeit)
differiert geringfügig. Zeitpunktangabe der oberen/unteren Kulminationshöhe (mit Höhenwert).
Bedingung oberer Ortsmeridiandurchgang: Stundenwinkel tw = 0 Uhr; Bedingung unterer Ortsmeridiandurchgang:
Stundenwinkel tw = 12 Uhr. Stundenwinkel t = Ortssternzeit minus Rektaszension.
Bei konstanter Deklination besteht keine zeitl. Differenz zwischen dem Zeitpunkt des Meridiandurchgangs und der
max Kulminationshöhe (scheinbarer Ort der Sterne für den Kulminations- bzw. Beobachtungszeitpunkt). Bei Objekten mit hoher Eigenbewegung ändern sich die Koordinaten Rektaszension und Deklination tägl. beträchlich,
wodurch Meridiandurchgangszeit und max. Kulminationszeit differieren.
Die Differenz wird maximal, wenn der Planet den Himmelsäquator überschreitet; denn die tägl. Änderung der
Deklin. erreicht so den größtmöglichen Wert. Passiert das Gestirn den Äquator nach Norden, erreicht es die max. Kulminationshöhe nach dem oberen und vor dem unteren Meridiandurchgang, beim Passieren des Äuators (an die
scheinbare Himmelskugel projizierter Erdäquator) nach Süden vor dem oberen und nach dem unteren Meridiandurchgang.
Die Refraktion in Horizontnöhe ist meist nie exakt vorhersehbar, da sie von örtlich und zeitlich unterschiedlichen
Parametern (Temperatur, Luftdruck und Schichtung der Atmosphäre) abhängt. In der Regel genügen 1 Min. Genauigkeit (hier 0.1 Min) bei Auf- und Untergangsberchnungen bei einem mittl. Refraktionsbetrag von -34'.
Opposition/Konjunktion
Datum u. Uhrzeit der Opposition oder Konjunktion
des Mars mit der Sonne (äquatorial oder ekliptikal). Angabe der ekl. Breite (Deklin.) und ekl. Länge (Rektaszension) dieses Zeitpunktes; geozentrische Entfernung in AE,
scheinbarer Winkeldurchmesser des Planeten und areozentr. Deklination der Erde.
Oppositionsdaten rot: Erde areozentrisch vor der Sonnenkugel (Transit). Konjunktionsdaten rot. Erde hinter der Sonnenkugel (Transit), gesehen von Mars.
Perihel/Aphel
Datum u. Uhrzeit der Minimal- (Perihelion) oder Maximalentfernung (Aphelion) von der Sonne (heliozentrisch).
Scheinbarer Winkelhalbmesser, heliozentr. u. geozentr. ekl. Länge für diesen Zeitpunkt.
Mars am mittleren und wahren auf- / absteigenden Knoten seiner Bahn mit der Ekliptikebene
Datum u. Uhrzeit der heliozentrischen, geozentrischen und mittl. ekl. Länge des Knotens. Heliozentr. u. geozentr. ekl. Breite = 0 Grad.
Durchgang (Transit) durch den 1. Vertikalkreis (Ost-West-Kreis = Azimut exakt 90 und 270 Grad)
1. Vertikal Westhimmel topozentr. Azimut exakt 90°. 1. Vertikal Osthimmel topozentr. Azimut 270°. Zeitpunkt des
exakten topozentr. Azimuts von 90 und 270 Grad (= westl. und östl. Transit auf 0.1 Sek genau durch den 1. Vertikalkreis), des Mars, einschliel. topozentr. Höhe und topozentr. parallakt. Winkel für diesen Zeitpunkt.
Beispiel: 1.6.1872, +50° n. Br., +10°ö . L., DT = -1 Sek.: topozentr. Azimut 90°, topozentr. Höhe +29.1323° und
topozentr. parallakt. Winkel 43.849° (ohne Refraktion) um 15h42m17.2s UT; topozentr. Azimut 270°, topozentr. Höhe +29.0646° und topozentr. parallakt. Winkel 316.169° um 6h20m09.0s UT.
Durchgang (Transit) durch den 6-Uhr-Kreis
Stundenwinkel 6-Uhr-Kreis (Osthimmel) = tw = 18 Uhr = 270° = -90° und Stundenwinkel 6-Uhr-Kreis
(Westhimmel) tw = 6 Uhr = +90 Grad. Zeitpunkt des exakten topozentrischen Stundenwinkels von 90 und 270 (=-90) Grad (= westl. und östl. Transit auf 0.01 Sek genau durch den 6-Uhr-Kreis), des Mars, einschließl.
topozentr. Höhe und Azimut für diesen Zeitpunkt.
Beispiel: 1.6.1872, +50° n. Br., +10° . L., D
T = -1 Sek.; topozentr. Stundenwinkel exakt 270°, topozentr. Höhe 16.5583° und topozentr. Azimut 255.5532° (ohne Refraktion) um 5h01m33.9s UT; topozentr. Stundenwinkel 90°,
topozentr. Höhe +16.6046°, topozentr. Azimut 104.4905° um 17h01m04.4s UT.
Datum, Uhrzeit u. Azimut nach wählbarer Höheneingabe
Bei beispielsweise -29 Grad Deklin. des Gestirns, ergibt sich auf 50 Grad n. Br. eine Kulminationshhe von (90-50) = Kobreite 40 Grad -29 = Kulminationshhe kh 11 Grad. Ist die Kulminationshhe kleiner als die gewählte Höhe
erfolgt keine Angabe (Markierung >*<).
Zeitangaben in 0.01 Zeitsekunden machen etwa 15'' = 1 Zeitsek, 0.01s = 0.15''/3600 = 0.000042 Grad aus.
Zeitpunkt zu dem der Mars die gewählte topozentr. Höhe einnimmt, einschließl. topozentr. Azimut.
Beispiel: 15.10.1989, -20° s. Br., +140° ö. L. , DT = 57 Sek. Um welche Uhrzeit erreicht Mars exakt +10° topozentr. Höhe (wahlweise mit oder ohne Refraktion)? 20h40m34.6s, topozentr. Marshöhe +10°, topozentr.
Azimut 272.91584° (Osthimmel); 7h33m37.5s UT, topozentr. Hhe +10°, topozentr. Azimut 87.23633° (Westhimmel). Ohne Refraktion.
Datum, Uhrzeit u. Hhe nach wählbarer Azimuteingabe
Zeitpunkt zu dem der Mars das gewählte topozentr. Azimut erreicht, einschliel. topozentr. Höhe für diesen Augenblick. Beispiel: 1.3.-2000, +25°30' n. Br., +32°30' . L. (Theben/Oberägypten), D
T = 13.3050672 Std. Um 20h01m38s UT erreicht Mars das Azimut 100.5° topozentr. Höhe +26.3105°.
Datum, Uhrzeit, Hhe und Azimut nach wählbarer Stundenwinkeleingabe
Zeitpunkt zu dem der Mars den gew„hlten topozentr. Stundenwinkel einnimmt, einschliel. topozentr. Höhe und
Azimut für diesen Augenblick. Beispiel: 21.5.1989, +50° n. Br., +10° ö. L., DT = 57 Sek. Um 22h37m26.0s UT
erreicht Mars den gewählten topozentr. Stundenwinkel; 123.45678°, topozentr. Höhe -0.669°, topozentr. Azimut 130.35645° (Untergang).
Workshop Rotationselemente
Der eine oder andere Amateurastronom wird sicher eine Anleitung suchen, um die technischen und physischen
Ephemeriden der Gestirne selbst zu berechnen.
Die Bahnelemente (technische Daten) der Planeten, Planetoiden, Kometen und Satelliten sind durch die
astrometrische oder photographische Ortsbestimmung aus 3 oder mehreren bestimmten Positionen zu ermitteln, um danach für die Vergangenheit oder Zukunft exakte Ephemeriden zu berechnen (s. “Sternbeobachtung”).
Nachfolgend die Ermittlung der physischen Daten (Rotationselemnte) eines Planeten.
Der Positionswinkel, den die Rotationsachse mit der irdischen Nordrichtung bzw. mit dem Rektaszensionskreis des
Gestirnsmittelpunktes einnimmt, ist bei den Himmelskröpern Sonne, Mond, Jupiter u. Saturn leicht messbar, weil Sonnenflecke, Krater, Wolkenstreifen und die Ansenlinie des Ringsystems die Äquatorlage markieren. Der
schneeweiße Polfleck des Mars bietet dagegen nur einen indirekten Anhaltspunkt, da der Schwerpunkt der Polkappe nicht exakt mit der Lage des wahren areographischen Nord- bzw. Südpols übereinstimmt.
Der Mittelpunkt des Nordpolflecks liegt durchschnittl. bei bk=+88.5° areograph. Breite und lk=320° Länge; der Mittelpunkt des Südpolflecks liegt bei bk=-84° und lk=40° areograph. Länge.
Wegen der Dynamik des Marssystems (Marsrotation) verändert sich laufend der Anblick der Polkappe, wodurch stets etwas andere (in erster Linie vom Zentralmeridian abhängige) Schwerpunkte der Polkappe gemessen werden,
die zu großen systematischen Positionsfehlern führen können (die Ergebnisse sind dann unbrauchbar).
Fällt die areograph. Länge der Polkappenmitte (lk) und die Länge des Zentralmeridians (ZM) zusammen (lk=ZM oder lk=ZM !180° tritt
(bei bekanntem ZM) die abweichende Lage der Polfleckmitte nicht in Erscheinung, da der gemessene
Positionswinkel der Polkappenmitte dem des Pols entsprechen dürfte.
Die Position der Marsachse findet man somit aus der direkten Differenz beobachteter (pb) minus berechneter (pr) Positionswinkel der Marsachse (dp=pb-pr).
Am Mars ist die jeweilige Lage des Polkappenmittelpunktes gegenüber dem areograph. Pol eindeutig ersichtlich.
Meßtechnik: Der Positionswinkel (P), den der Mittelpunkt des Polflecks mit der irdischen Nord-Sd-Richtung bildet,
ist leicht zu messen, da man lediglich ein Fadenkreuzokular und Positionswinkelkreis benötigt. Der Faden halbiert die Polkappe zu gleichen Teilen links und rechts.
Der Positionswinkelkreis ist einfach anzufertigen. Eine Pappscheibe mit etwa 400 mm Durchmesser besitzt einen Umfang von 400*PI = 1256.637 mm /360 Grad = 3.4906 mm pro Grad / 2 = 1.7453 mm pro 0.5 Grad. Auf die
Pappscheibe zeichnet man lediglich das rechtwinklige Achsenkreuz, wobei darauf zu achten ist, daß der Kreuzmittelpunkt exakt mit dem Mittelpunkt der Scheibe übereinstimmt, um Exentrizitätsfehler zu minimieren.
Schließlich ist der mit einem Zirkel um den Mittelpunkt der Scheibe im Durchmesser des Okularauszuges gezogene Kreis auszuschneiden und die Pappscheibe am Okularauszug zu befestigen.
 Zeiger am Okular befestigen (evtl. mit Tacker auf eine kleine Pappscheibe heften, die drehbar an der
Okularsteckhlse befestigt wird). Mit einem Stab (Lineal o.ä.) stellt man sicher, daß die Zeigerenden genau linear gegenüber liegen und exakt durch die Austrittspupille des Okulars (optische Achse) verlaufen.
Der senkrechte Stundenfaden des Fadenkreuzokulars liegt exakt in der Nord-Sd-Richtung, wenn ein Stern ohne geringste Abweichung auf dem Querfaden (Dekinationsfaden) entlang >läuft<.Die am Okular
angebrachten zwei oder vier Zeiger müssen, bei exakter nord-südlicher und ost-westlicher Ausrichtung des Fadenkreuzokulars, exakt mit dem Achsenkreuz des Fadenkreuzokulars, mit dem Achsenkreuz der zwei oder
4 Zeiger und dem Achsenkreuz der fest arretierten Pappscheibe zu Deckung gebracht werden und übereinstimmen. Das Achsenkreuz der Scheibe ist so fest in der irdischen Nord-Süd-Richtung orientiert. Die sist
nur als Anregung zu verstehen. Eine Vorrichtung zur Messung des Positionswinkel herzustellen, bleibt natülich dem Bastelgeschick jedes Einzelnen überlassen. Selbst kostspielege Positionsfadenmikrometer (s.
“Sternbeobachtung”) mit einer Positionsiwnkelscheibe und analoger Ablesung sind durch den kloinen Meßscheibendurchmesser nicht sehr präzis.
Anschlieend dreht man das Fadenkreuzokular mit den Zeigern so, daß der senkrechte Faden (Stundenfaden) und der Schwerpunkt des Polflecks zusammenfallen.
Ist das Fadenkreuz auf den Schwerpunkt der Polkappe ausgerichtet, markiert man die Lage der Zeiger am Rand der Scheibe. Mit dem Lineal, Maßband oder digitalem Meßschieber wird der lineare Abstand >s< der
Zeigermarkierung vom Nord-Süd orientierten Achsenkreuz am Scheibenrand(!) gemessen. d=400 mm Scheibendurchmesser (Mittelwert einiger Durchmesserbestimmungen) s=30.23 mm linearer Abstand (Sehne) der
Randmarkierungen Positionswinkel P 8.67 Grad =ARCSIN(s/d)*2.
Die Sehne kann mit einer 10x Melupe u. einem digitalen Meschieber mit 0.01 mm Auflsung vermessen werden.
Der Positionswinkel der Marsachse liegt bei Messungen entgegen dem Uhrzeigersinn im I. Quadranten (0 bis 90 Grad), und umgekehrt im IV. Quadranten (270 bis 360 Grad). Bei P mit negativen Vorzeichen sind -8.67 Grad daher P 351.33 Grad.
Nach jeder einzelnen Messung, läßt man wieder einen Stern auf dem Querfaden entlang laufen und überprüft auch die exakte šbereinstimmung der Zeiger mit dem Achsenkreuz der Scheibe, da Dezentrierungen leicht vorkommen.
Das Resultat P ist der Mittelwert aus 5 oder 10 Messungen. Ein größerer Scheibendurchmesser kann die Genauigkeit der Messungen erhöhen. Bei einer Scheibe mit 40 cm Radius macht ein Meßfehler von !1 Millimeter etwa ±0.14 Grad aus.
Lage der Polkappe. Um den Schwerpunkt der nördl. oder südl. Polkappe zu bestimmen, verwendet man besser die angegebenen physischen Daten (Positionswinkel P und Neigungswinkel De der Achse, Zentralmeridian ZM).
Polkappe und Polachse haben nur wenige Grad Abstand. Wollte man beide Objekte bestimmen, können die unvermeidlichen systematischen Meßfehler das eine und auch das andere Ergebnis unbrauchbar machen. Eine
maximal ausgedehnte Polkappe im Winter (Schneegrenze um 50 Grad Breite) erhöht die Unsicherheit in der Bestimmung der Länge und Breite des Schwerpunktes.
Die Vermessung der Polkappe ist eine durchaus verdienstvolle wissenschaftliche Arbeit. Der jahreszeitliche Verlauf der Schneeschmelze (Länge u. Breite des Polsaums), Länge und Breite des Schwerpunktes der Polkappen usw. ist
immer interessant.
Vgl. >Sterne und Weltraum<, z. B. H. Heuseler, >Das jahreszeitliche Verhalten der Polkappen auf dem Planeten Mars<; >Sterne und Weltraum<, Heft 1/1968, S. 13-16.
Streng berechneter Positionswinkel (Pr) des Polfleckmittelpunktes (ab ird. Nord) mit der Koordinate bk,lk:
f=ACOS(SIN(De)*SIN(bk)+COS(De)*COS(bk)*COS(ZM-lk))
y1=(COS(bk)*SIN(ZM-lk))/SIN(f)
x1=(SIN(De)*COS(bk)*COS(ZM-lk)-COS(De)*SIN(bk))/SIN(f)
pp=FN r(ATN(y1/(1+x1))*2+PI)
Pr=FN r(pr+pp)
dP=P-Pr
ZM=areograph. Länge des Zentralmeridians der Beobachtungszeit (Ephemeride) . De=Deklination der Erde über
dem Marsäquator nach der Ephemeride; bk,lk=angenommene areographische Länge und Breite des Polfleckmittelpunktes; pr=berechneter Positionswinkel der Marsachse nach der Ephemeride; P,Pr=beobachteter,
berechneter Positionswinkel des Mittelpunktes der Polkappe ab ird. Nordrichtung;
f=Winkeldistanz zwischen Marsmittelpunkt (De) und dem Polfleckmittelpunkt bk,lk. dP=für die Ausgleichung
verwendeter beobachteter minus berechneter Positionswinkel des Mittelpunktes der Polkappe; pp=Positionswinkel des Polflecks ab Marsnordpol.
Mißt man zahlreiche Positionswinkel des Mittelpunktes der Polkappe (P), ermittelt man mit der Methode der kleinsten Quadrate den
wahrscheinlichsten (best fit) Wert der areograph. Länge und Breite bk,lk des Polfleckschwerpunktes.
f=ACOS(SIN(De)*SIN(bk)+COS(De)*COS(bk)*COS(ZM-lk))
y1=(COS(De)*SIN(lk-ZM))/SIN(f)
x1=(SIN(bk)*COS(De)*COS(lk-ZM)-COS(bk)*SIN(De))/SIN(f)
w=FN r(ATN(y1/(1+x1))*2)
dP=beobachteter minus berechneter Positionswinkel der Polkappe (dP=P-Pr); s=90° - bk = Poldistanz der Polfleckmitte; dz,dl=Korrekturwert der angenommenen areograph. Länge (s,lk) Polfleckmitte (s=s+dz, bk=90°
(oder PI/2) - s, lk=lk+dl); dpw=Positionswinkelkorrekturwert der Marsachse; f=Distanz zwischen Mittelpunkt Polkappe (bk,lk) u. Marsmittelpunkt (De); w=Winkel zwischen s und f.
Bedingungsgleichung: dP(n)=dpw+(SIN(w(n))/SIN(f(n)))*dz+(COS(w(n))/SIN(f(n)))*SIN(s)*dl; n=1,2,3...,n. n=Anzahl der Messungen.
Normalgleichung für 3 Unbekannte. p=Gewicht der Messung.
p dpw + [px] dz + [py] + dl = [pdP],1,0,0
[px] dpw + [pxx] dz + [pxy] + dl = [pxdP],0,1,0
[py] dpw + [pxy] dz + [pyy] + dl = [pydP],0,0,1
Numerisches Beispiel.
Beobachteter Positionswinkel der Polkappe am 1.7.1971 um 1 Uhr TT, Äquinoktium des Datums: P=178.9916 Grad (von Refraktion befreit).;
Berechneter Positionswinkel pp=177.34957°. Daten aus einer Ephemeride (s. z. B. Spaceglobe Screensaver The Earth): De=-17.9865°, ZM 60.6698°, Achse 355.042221°. Die areographische Länge zählt nach Westen 0<=ZM<=360 Grad.
Aus 11 Messungen erhält man für den Schwerpunkt der südl. Polkappe bk=-82.56°, lk=31.71° areograph. Länge (angenommen Lage nach ideal berechneten Messwerten).
Die Lagebestimmung der Polkappe basiert in praxi auf ein umfangreiches Beobachtungsmaterial.
REM PROGR. POLKAPPE MARS
DIM p(10,10),ko(10,10),g(130),dp(130),a(130),b(130)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
REM ----------------------------
n1 = 11 //EINTRAG ANZAHL WERTPAARE
REM -----------------------------
k = FN rad(40) //EINTRAG UNGEFÄHRE AREOGRAPH. LÄNGE SšDL. POLKAPPE (RAD)
bk = FN rad(-84) //EINTRAG UNGEFÄHRE AREOZENTR. BREITE SšDL. POLKAPPE (RAD)
ko(2,1) = 0
ko(3,1) = 0
so = PI / 2 - bk
REM -----------------------------------------------
FOR v = 0 TO 20
lk = lk + ko(3,1)
so = so + ko(2,1)
bk = PI / 2 - so
so = PI / 2 - bk
REM -------------------------
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1
READ p,de,zm,pr,g
p = FN rad(p) //P BEOBACHTETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE
de = FN rad(de) //DE AREOZENTR. DEKLINATION ERDE
zm = FN rad(zm) //ZM AREOGRAPH. LÄNGE ZENTRALMERIDIAN
pr = FN rad(pr) //POSITIONSWINKEL MARSACHSE
REM ------------------
f = ACOS(SIN(de) * SIN(bk) + COS(de) * COS(bk) * COS(zm - lk))
y1 = (COS(bk) * SIN(zm - lk)) / SIN(f)
x1 = (SIN(de) * COS(bk) * COS(zm - lk) - COS(de) * SIN(bk)) / SIN(f)
pp = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2 + PI)
pr1 = FN r(pr + pp) //Pr BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE
y1 = (COS(de) * SIN(lk - zm)) / SIN(f)
x1 = (SIN(bk) * COS(de) * COS(lk - zm) - COS(bk) * SIN(de)) / SIN(f)
w = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
REM -----------------------
dp(i) = p - pr1 //BEOBACHETER MINUS BERECHNETER POSITIONSWINKEL
REM ARGUMENTE BEDINGUNGSGLEICHUNG
a(i) = SIN(w) / SIN(f)
b(i) = (COS(w) / SIN(f)) * SIN(so)
g(i) = g //GEWICHT DER MESSUNG
NEXT i
dat: //DATA-DATEI MESSDATEN P,De,ZM,pr,g
DATA 178.99164,-17.986568,60.669869,355.0422206,1
DATA 180.61482,-17.98496744,75.2847136,355.03832889,1
DATA 167.34995,-17.1721097,280.27628,354.496331,1
DATA 166.86296,-17.1694608,292.4614061,354.49695,1
DATA 166.71974,-17.1662786,307.08357,354.49771,1
DATA 169.399712,-17.09858,254.154365,354.516949,1
DATA 172.500511,-14.831732,352.89281,357.47403,1
DATA 174.210367,-14.8286043,7.524213,357.48107,1
DATA 176.15834,-14.825481,22.15560859,357.488115,1
DATA 178.544437,-14.821844,39.22557788,357.49633,1
DATA 180.19799,-14.819249,51.4184122,357.5022,1
REM ------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG dp=dpw+(sin(w)/sin(f))*dz+(cos(w)/sin(f))*sin(s)*dl
REM NORMALGLEICHUNG FšR 3 UNBEKANNTE
REM p dpw + [px] dz + [py] dl = [pdP],1,0,0
REM [px] dpw + [pxx] dz + [pxy] dl = [pdPx],0,1,0
REM [py] dpw + [pxy] dz + [pyy] dl = [pdPy],0,0,1
REM ----------------
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
dp = 0
dpx = 0
dpy = 0
dpdp = 0
p = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i)
x = x + a(i) * g(i)
y = y + b(i) * g(i)
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
dp = dp + dp(i) * g(i)
dpx = dpx + dp(i) * a(i) * g(i)
dpy = dpy + dp(i) * b(i) * g(i)
dpdp = dpdp + dp(i) * dp(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = p
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = dp //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0
p(1,7) = 0
REM -------------------
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = dpx //1. RESIDUENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1
p(2,7) = 0
REM -------------------
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = dpy //1. RESIDUENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(3,7) = 1 //4. RESIDUENVERTOR
GOSUB elim
REM FEHLERQUADRATSUMME
vv = dpdp - dp * ko(1,1) - dpx * ko(2,1) - dpy * ko(3,1)
REM FEHLERQUADRAT AUS BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG
vv1 = 0
FOR i = 1 TO n1
vv1 = vv1 + (dp(i) - (ko(1,1) + a(i) * ko(2,1) + b(i) * ko(3,1))) ^ 2 * g(i)
NEXT i
s = ABS(vv / (n1 - 3))
mfx = SQR(ABS(s * ko(1,2)))
mfy = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
mfz = SQR(ABS(s * ko(3,4)))
s1 = SQR(s)
IF p <> n1 THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
REM ----------------------------------------
CLS
PRINT "AREOZENTR. BREITE SCHWERPUNKT POLKAPPE bk: ";FN deg(bk);" GRAD"
PRINT "AREOGRAPH. LÄNGE SCHWERPUNKT POLKAPPE Lk: ";FN deg(lk);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dpw: ";FN deg(ko(1,1));" Grad"
PRINT "KOEFFIZIENT dz: ";FN deg(ko(2,1));" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dl: ";FN deg(ko(3,1));" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER dpw: ";FN deg(mfx)," GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER dz.: ";FN deg(mfy);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER dl.: ";FN deg(mfz);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";FN deg(s1);" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";FN deg(vv)
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";FN deg(vv1)
PRINT "TASTE BETTIGEN - ITERATION NR. ";v
REPEAT
UNTIL INKEY$ = " " //WARTEN AUF TASTENDRUCK
NEXT v
END
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum2
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum2:
FOR i = j + 1 TO m + 1 //ELIMINATION
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko(l,i) = ko(l,i) - p(l,s) * ko(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
Position der Marsachse (I) aus Positionswinkelmessungen der Achse
Die digitale Photographie durch eine am Fernrohrtubus anschraubare Astro-CCD-Kamera (z. B. von LYNXX, STBIG), erlaubt hochpräzise Ausmessungen (Astrometrie, Photometrie u. Spektroskopie) aufgenommener Objekte am Computer mit
komfortablen Bildbearbeitungsprogrammen die der Kamera meist beiliegen. Die Helligkeit und Positionen auf CCD-Aufnahmen können damit auf 0.01 mag und 0.02'' genau oder besser vermessen werden (>Sky &
Telescope<, Heft 3/91, S. 257ff). Die Digitalisierung (CCD-Kamera oder eingescannte Aufnahmen herkömmlicher Analog-Kameras), ermöglichen die pixelgenaue Bildvermessung durch den Computer. Die exakte äquatoriale
Ausrichtung einer Aufnahme kann durch ein Stern ermittelt werden, der wegen des tägl. Himmelsumschwungs bei stillstehendem Fernrohr eine äquatorparallele Strichspur auf der Aufnahme hinterläßt.
Vgl. >PC-Bildverarbeitungsprogramme für den Amateur<, >Sterne und Weltraum<, Heft 12/1995, S. 930-939; Bildverarbeitung mit der CCD-Kamera, >Sterne und Weltraum<, Heft 8-9/1996, S. 680-684; >Die Entstehung
eines CCD-Bildes<, >Sterne und Weltraum<, Heft 12/1991, S. 760ff; >Neue Verarbeitungstechniken fr CCD-Bilder<, >Sterne und Welraum<, Heft 4/1994, S. 311ff.
Literatur (Verlag Willmann-Bell, Inc., P.O. Box 35025, Richmond, Virginia 23235 USA - dt. Anbieter: Verlag Vehrenberg KG, Postf. 140551, 40075 Dsseldorf): Buil, >CCD-Astronomy<; R. Berry, >Intro. to Astro. Image
Processing< [inkl. Diskette mit Quick-Basic-Quellcode des Progr. AIP]; Lindley >Practical Image Processing<; Pratt, >Digital Image Processing<.
Die weitere Auswertung erfolgt am besten mit dem kostenlos erhältlichen Bildbearbeitungsprogramm MIDAS (Munich Image Data Analysis System) der Europäischen Südsternwarte ESO (Internet: http://www.hq.eso.org/midas-info/midas.html).
MIDAS läuft mit dem Betriebssystem LINUX (erhältl. bei der LINUX-Distribution SuSE [www.suse.de] bzw. im Computer-Fachhandel) und umfasst etwa 14 MB (davon 6 MB Dokumentation).
Die Bestimmung der Marsachse nach Positionswinkelmessungen der Polkappenmitte, ist mit großen systematischen Fehlern behaftet. Die Anwendung >Position der Marsachse II< oder >Position der Marsachse III<
ergibt daher bessere Resultate. Die Fehler könnten vielleicht gringer werden, wenn die areograph. Länge des Schwerpunktes der Polkappe weitgehend mit der areograph. Länge des Zentralmeridians zusammenfällt, da der
Positionwinkel der Polkappe und der Marsachse zu diesem Zeitpunkt übereinstimmen.
Unter dieser Bedingung würde der Meßvorgang allerdings sehr umständlich da der Positionswinkel nur einmal am
Tag zu einer bestimmten Zeit messbar wäre. Die Länge der Polkappenmitte und die des Zentralmeridians müßten zudem bekannt sein.
Die folg. Methode verwendet die Differenz beobachteter (pb) minus berechneter (pr) Positionswinkel der
Marsachse (dp=pb-pr).
Bei nur ungefähr bekannten Koordinaten des Rotationspols, sind auch die daraus resultierenden Größen bk,lk,De,ZM,pr nur ungefähr bekannt, die daher schrittweise verbessert werden müssen.
pb=FN r(pr+dpw)
dp=pb-pr
Reduktion auf das Intervall 0<=x<=PI*2: DEFFN r(x)=x-INT(x/(2*PI))*(2*PI).
pr=berechneter Positionswinkel der Marsachse nach einer Ephemeride, pb=beobachteter Positionswinkel der Marsachse.
dpw=Positionswinkelkorrekturwert für die berechnete (pr) Marsachse nach Positionswinkelmessungen der Polkappe,
dp=Differenz beobachteter minus berechneter Positionswinkel der Achse.
Deklination und Rektaszension der Rotationsachse.;
Bedingungsgleichung: dp(n)=da * a(n) + dd * b(n).
Koeffizienten: b(n)=-sin(K(n))/cos(De(n)); a(n)=(cos(K(n))*cos(d1))/cos(De(n)).
[xx] = S a(n)*a(n), 1,2,3,...,n
[xy] = S a(n)*b(n), 1,2,3,...,n
[yy] = S b(n)*b(n), 1,2,3,...,n
[dpx] = S a(n)*dp(n),1,2,3,...,n
[dpy] = S b(n)*dp(n),1,2,3,...,n
Normalgleichung fr zwei Unbekannte:
[xx] da + [xy] dd = [dpx],1,0
[xy] da + [yy] dd = [dpy],0,1
d, a = Deklin. u. Rektaszension Mars; K=Polwinkel; a1, d
1 = AR, Deklin. Nordpol Mars; dA=da ,dD=dd = Korrekturwert in Rektaszension und Deklination Marsnordpol.
Alternative Methode:
Differentialformel der sphärischen Trigonometrie. Bedingungsgleichung:
dp=-sin(De)*dK-sin(
d)*dA+(1/s)*sin(K)*sin(a -a1)*dD; s=sin(K)/cos(
d).
dK=Korrekturwert Polwinkel K.
a(n)=-sin(De(n)); b(n)=-sin( d(n))
c(n)=(1/s(n))*sin(K(n))*sin(a(n) - a1(n))
[xx] = S a(n)*a(n), 1,2,3,...,n
[xy] = S a(n)*b(n), 1,2,3,...,n
[xz] = S a(n)*c(n), 1,2,3,...,n
[yy] = S b(n)*b(n), 1,2,3,...,n
[yz] = S b(n)*c(n), 1,2,3,...,n
[zz] = S c(n)*c(n), 1,2,3,...,n
[dpx] = S a(n)*dp(n),1,2,3,...,n
[dpy] = S b(n)*dp(n),1,2,3,...,n
[dpz] =
S c(n)*dp(n),1,2,3,...,n
Normalgleichung:
[xx] dK + [xy] dA + [xz] dD = [dpx],1,0,0
[xy] dK + [yy] dA + [yz] dD = [dpy],0,1,0
[xz] dK + [yz] dA + [zz] dD = [dpz],0,0,1
Auf die Erdäquatorebene bezogene Rotationselemente.
De = ARCSIN(-sin(
d1) sin(d)-cos(d1) cos(d
) cos(a1-a))
x=(cos(d) sin(;(a1-a))/cos(De)
y=(-cos(
d1) sin(d)+sin(d1) cos(d
) cos(a1-a))/cos(De)
K=ARCTAN(y/(1+x))*2; K negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.Positionswinkel (P) der Rotationsachse:
y=(cos(
d1) sin(a1-a)/cos(De)
x=(sin(
d1) cos(d)-cos(d1) sin(d) cos(a1-a))/cos(De)
pr=ARCTAN(y/(1+x))*2; pr negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.;
Der Positionswinkel mit ab der ird. Nord-Richtung des Rektaszensionskreises der scheinbaren Marsmitte (
d , a )
entgegen dem Uhrzeigersinn (0°<=pw<=360°).
 De=Deklination der Erde über dem Marsäquator, K=Winkel am Marsnordpol der Richtung Erdnordpol/Marsnorpol/Sub-Erde Punkt, Rektaszension der Erde parallel zum Marsäquator ab aufsteigendem Knoten der Erdäquatorebene mit der
Marsäquatorebene (N);
pr=Positionswinkel der Marsachse (der Positionswinel mit stets ab der Nordrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn von 0 bis 360 Grad); ;
d1,a
1 = Deklination und Rektaszension der Rotationsnordpols des Mars, Äquinoktium des Datums. d, a = topozentr. Deklination und Rektaszension des Mars, Äquinoktium des Datums.
Numerisches Beispiel.
R=mit der zuvor genannten Formel berechneter Positionswinkel (pr) der Rotationsachse zur Beobachtungszeit.
B=Mit Fadenkreuzokular und Positionswikelkreis gemessener Positionswinkel (pb) der Rotationsachse zur Beobachtungszeit.
Differenz beobachter minus berechneter Positionswinkel, Äquinoktium des Datums: dp(n)=B-R = pb-pr (n=1,2,3...,n Beobachtungen).
b=-sin(K)/cos(De)
a=(cos(K)*cos(d1))/cos(De)
Bedingungsgleichung: dp=da *a + dd *b.
Schrittweise Verbesserung der Ausgangswerte des ungefähr angenommenen Rotationsnordpols:
d1 = d1 ± dd
a
1 = a1 ± da Die Vorzeichen der Poldifferenzen !da u. !dd
können bei großen Fehlern der Messungen problematisch werden. Die Fehlerquadratsumme (vv) und Koeffizient dpw wird bei Eingabe der Poldifferenzen mit richtigem Vorzeichen ein Minimum.
Die beiden Unbekannten da (=dA) und dd
(=dD) ermittelt man mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Die Bestimmung des Marsnordpols wird auf das Beobachtungsmaterial mehrerer Oppositionen aufgebaut.
Areozentrische Breite und areograph. Länge der südl. Polkappenmitte: Sollwert lk=31.71°, bk-82.56°.
Deklin. und Rekaszension des Marsnodpols: Sollwert d1=52.903°, a1=317.716° (Äquinoktium J2000).
Ausgangswert: lk=40°, bk-84°.
Ausgangswert: d1=50°, a
1=320°.
11 Messungen vom 1.7.1971 bis 11.8.1971 (Messungen bereits von Refraktion befreit): 1. Messung am 1.7.1971,
1h TT = JD 2441133.541667, Deklin. Mars -18.9073313°, AR Mars 325.299314°, Erdentfernung 0.489078 AE, gemessener Positionswinkel der Polkappe 178.99164° (ideale Werte).
Korrektion der direkt gemessenen scheinbaren Positionswinkel der Polkappe (Marsachse), Äquinoktium des Datums, für Refraktion, Aberration, Präzession, Nutation und Reduktion auf das mittl. Äquinoktium J2000 unter
Anwendung des Programms REM REDUKTION DER MESSUNG AUF DAS MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000 in “Der Saturn”.
Beispiel: po=178.99164°, dm=-18.907331°, ar=325.299314° (s. Programmabschnitt DATA) in das Progr.
eingesetzt (Werte in diesem Beispiel mit Refraktion nicht behaftet, GOSUB refrak daher REM und flag=1): 178.9009°, J2000.
Wegen der persönl. und systematischen Meßfehler ist die Marsachse; nicht so einfach zu bestimmen. Am besten
man hält sich an folg. Bedingungen: Die Fehlerquadratsumme (vv) und auch die der Koeffizient dpw soll ein Minimum werden. Der hier mit idealen Mewerten vorgestellte Idealfall (vv=0 und dpw=0) kommt wegen der
unvermeidlichen Mefehler in der Praxis natürlich nicht vor.
Iteration: bk=-82.65°, lk=35.15°, dpw=-1.1178°, vv=0.00064, a1=320°, d1=50°, vv=-13.701.
1. Eingabe dA -3°, dD 2°;.
1. Iteration: bk=-82.57°, lk=31.45°, dpw=0.014°, vv=0.000093, a1=317°, d1=52°, vv=-3.8708.
2. Eingabe dA 0.716°, dD 0.904°.
2. Iteration: bk=-82.57°, lk=31.74°, dpw=0.0002°, vv=1.511E-08, a1=317.716°, d
1=52.904°, vv=-4.44E-06.
REM ROTATIONSELEMENTE DEKLIN./AR POL MARS METHODE I /BREITE, LÄNGE DER POLKAPPE
DIM p(10,10),ko(10,10),ko1(10,10),dp1(20),pb(20),dm(20),ar(20),de(20),pr(20),k(20),g(20),dp(20),a(20),b(20),a1(20),b1(20)
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
n1 = 11 //EINTRAG ANZAHL BEOBACHTUNGEN
REM ---------------------------------------------
lk = FN rad(40) //EINTRAG UNGEFÄHRE AREOGRAPH. LÄNGE SÜDL. POLKAPPE (RAD)
bk = FN rad(-84) //EINTRAG UNGEFÄHRE AREOZENTR. BREITE SÜDL. POLKAPPE (RAD)
REM EINTRAG UNGEFÄHRER NORDPOL DES MARS
dp1 = FN rad(50) //EINTRAG UNGEFÄHRE DEKLINATION POLACHSE (ÄQUINOKTIUM DES DATUMS)
ap1 = FN rad(320) //EINTRAG UNGEFÄHRE REKTASZENSION POLACHSE (ÄQUINOKTIUM DES DATUMS)
REM -------------------------------------------
ko1(1,1) = 0
ko1(2,1) = 0
ko1(3,1) = 0
so = PI / 2 - bk
s2 = 0
FOR ss = 1 TO 6 //ITERATION ANFANG
s2 = s2 + 1
REM -----------------------------------------------
lk = lk + ko1(3,1)
so = so + ko1(2,1)
bk = PI / 2 - so
so = PI / 2 - bk
REM -------------------------
RESTORE dat
FOR i = 1 TO n1 //BERECHNUNG DER WERTE
READ jd,dm,ar,rm,p,g
dm = FN rad(dm) //SCHEINBARE DEKLINATION MARS ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
ar = FN rad(ar) //SCHEINBARE REKTASZENSION MARS
p = FN rad(p) //MITTL. POSITIONSWINKEL POLKAPPE J2000
g(i) = g //GEWICHT = 1
REM REDUKTION DEKLIN., AR MARS, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
REM ZU DEKLIN, AR ÄQUINOKTIUM J2000 (=1.1.2000, 12 UHR TT)
GOSUB reduk
REM lz1=WINKEL AUF DEM MARSQUATOR DES AREOGARPH. NULLMERIDIANS
REM AB KNOTEN MARSQUATOR-/ERDQUATOREBENE N1 J2000
REM lz1 BEEINFLUSST LEDIGLICH DIE LNGE DER POLKAPPE lk
REM lk IST MIT DEM FEHLER DES WERTES lz1 BEHAFTET
lz1 = 3.0875049 //IAU WERT 1994
REM 24std. ROTATIONSWINKEL 350.8919830 GRAD
ta = FN r(6.124220422202 * ((jd - 2451545) - 0.005775518 * rm))
dre = FN r(lz1 + ta)
REM ------------------------------------------
de = -SIN(dp1) * SIN(dm) - COS(dp1) * COS(dm) * COS(ap1 - ar)
IF ABS(de) >= 1 THEN
de = 0.99999999 * SGN(de)
ENDIF
de = ASIN(de) //De=DEKLINATION DER ERDE ÜBER DEM MARSÄQUATOR
x = (COS(dp1) * SIN(ap1 - ar)) / COS(de)
y = (SIN(dp1) * COS(dm) - COS(dp1) * SIN(dm) * COS(ap1 - ar)) / COS(de)
IF y <= -0.99999999 THEN
pr = PI
ELSE //pr=POSITIONSWINKEL MARSACHSE
pr = FN r(ATN(x / (1 + y)) * 2)
ENDIF
x = (-COS(dp1) * SIN(dm) + SIN(dp1) * COS(dm) * COS(ap1 - ar)) / COS(de)
y = (COS(dm) * SIN(ap1 - ar)) / COS(de)
IF y <= -0.9999999 THEN
k = PI //K=POLWINKEL
ELSE
k = FN r(ATN(x / (1 + y)) * 2)
ENDIF
zm = FN r(dre - k) //AREOGRAPH. LÄNGE ZENTRALMERIDIAN
REM ----------
f = ACOS(SIN(de) * SIN(bk) + COS(de) * COS(bk) * COS(zm - lk))
y1 = (COS(bk) * SIN(zm - lk)) / SIN(f)
x1 = (SIN(de) * COS(bk) * COS(zm - lk) - COS(de) * SIN(bk)) / SIN(f)
pp = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2 + PI)
pkr = FN r(pr + pp) //BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE (RAD)
pb = FN r(pr + ko1(1,1)) //pr+dpw BEOBACHTETER POSITIONSWINKEL ACHSE (RAD)
y1 = (COS(de) * SIN(lk - zm)) / SIN(f)
x1 = (SIN(bk) * COS(de) * COS(lk - zm) - COS(bk) * SIN(de)) / SIN(f)
w = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)
REM POLKAPPE ------------
p1 = p //BEOBACHTETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE
p2 = pkr //BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE
IF p1 >= 0 AND p1 < PI / 2 AND p2 > PI * 1.5 AND p2 <= PI * 2 THEN
p1 = p1 + PI * 2
ENDIF
IF p2 >= 0 AND p2 < PI / 2 AND p1 > PI * 1.5 AND p1 <= PI * 2 THEN
p2 = p2 + PI * 2
ENDIF
dp1(i) = p1 - p2 //B-R BEOBACHTETER MINUS BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLKAPPE
a1(i) = SIN(w) / SIN(f)
b1(i) = (COS(w) / SIN(f)) * SIN(so)
REM ACHSE -----------------------
p1 = pb //BEOBACHTETER POSITIONSWINKEL POLACHSE
p2 = pr //BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLACHSE
IF p1 >= 0 AND p1 < PI / 2 AND p2 > PI * 1.5 AND p2 <= PI * 2 THEN
p1 = p1 + PI * 2
ENDIF
IF p2 >= 0 AND p2 < PI / 2 AND p1 > PI * 1.5 AND p1 <= PI * 2 THEN
p2 = p2 + PI * 2
ENDIF
dp(i) = FN deg(p1 - p2) //B-R BEOBACHTETER MINUS BERECHNETER POSITIONSWINKEL POLACHSE
a(i) = COS(k) * COS(dp1) / COS(de)
b(i) = -SIN(k) / COS(de)
NEXT i
dat: //DATA-DATEI JD,dm,ar,rm,P (J2000),g
DATA 2441133.541667,-18.9073313,325.299314,0.489078,178.90009,1
DATA 2441133.583333,-18.908427,325.305541,0.4888722,180.5229,1
DATA 2441147.506944,-19.6469604,326.203,0.428796,167.26027,1
DATA 2441147.541667,-19.649699,326.202144,0.42867,166.77328,1
DATA 2441147.583333,-19.65299,326.20109,0.4285188,166.63005,1
DATA 2441148.458333,-19.7234704,326.173696,0.42539,169.30995,1
DATA 2441174.375,-22.29944,321.52837,0.37578,172.398902,1
DATA 2441174.41667,-22.30303,321.51716,0.375773,174.108732,1
DATA 2441174.45833,-22.306609,321.50595,0.375766,176.05668,1
DATA 2441174.506944,-22.3107798,321.4928629,0.375758,178.44274,1
DATA 2441174.541667,-22.31375,321.483514,0.375753,180.0961778,1
GOSUB polkappe
REM POLACHSE -------------------------------------------------------
REM METHODE DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE ------------------
REM EINTRAG ANZAHL BEDINGUNGSGLEICHUNGEN dP=d;(&HE0);*a+d;(&HEB);*b
REM NORMALGLEICHUNG FšR ZWEI UNBEKANNTE
REM [pxx] da+ [pxy] dd = [pdpx],1,0
REM [pxy] d
a+ [pyy] dd
= [pdpy],0,1
REM --------------------------------------------------
p = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
dpx = 0
dpy = 0
dpxx = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i) //GEWICHT DER MESSUNG
xx = xx + a(i) * a(i) * g(i) //[pxx]
xy = xy + a(i) * b(i) * g(i)
yy = yy + b(i) * b(i) * g(i)
dpx = dpx + dp(i) * a(i) * g(i)
dpy = dpy + dp(i) * b(i) * g(i)
dpxx = dpxx + (dp(i) * a(i) * g(i)) ^ 2
NEXT i
REM ---------------------
resi = 3 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 2 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 2 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
m = m + resi
REM -------------------------
p(1,1) = xx
p(1,2) = xy
p(1,3) = dpx //1. RESIDUUM
p(1,4) = 1 //2. RESIDUUM
p(1,5) = 0 //3. RESIDUUM
p(2,1) = xy
p(2,2) = yy
p(2,3) = dpy //1. RESIDUUM
p(2,4) = 0 //2. RESIDUUM
p(2,5) = 1 //3. RESIDUUM
GOSUB elim
u = 0
IF ko(1,1) < 0 AND ko(2,1) < 0 THEN
u = 1
ko(1,1) = ko(1,1) * -1
ko(2,1) = ko(2,1) * -1
ENDIF
IF ko(1,1) > 0 AND ko(2,1) > 0 AND u = 0 THEN
ko(1,1) = ko(1,1) * -1
ko(2,1) = ko(2,1) * -1
ENDIF
REM SUMME DER KLEINSTEN FEHLERQUADRATE
vv = dpxx - dpx * ko(1,1) - dpy * ko(2,1)
REM MITTL. FEHLER DER KOEFFIZIENTEN dA,dD
s = ABS(vv / (n1 - 2))
mfa = SQR(ABS(s * ko(1,2)))
mfb = SQR(ABS(s * ko(2,3)))
s1 = SQR(s)
IF p <> n1 THEN
s1 = s1 / SQR(p)
ENDIF
IF s2 = 3 THEN
s2 = 0
REM OUTPUT ---------------------------------------------
PRINT "KOEFFIZIENT dA....................: ";ko(1,1);" GARD"
PRINT "KOEFFIZIENT dD....................: ";ko(2,1);" GRAD"
PRINT "AR ROTATIONSNORDPOL J2000....: ";ROUND(FN deg(ap1),3);" GRAD"
PRINT "DEKLINATION ROTATIONSPOL J2000....: ";ROUND(FN deg(dp1),3);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG.: ";s1;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dA...: ";mfa;" GRAD"
PRINT "MITTLERER FEHLER KOEFFIZIENT dD...: ";mfb;" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME................: ";vv
PRINT
INPUT "EINTRAG (GRAD) dA: ",x
INPUT "EINTRAG (GRAD) dD: ",y
ap1 = FN r(ap1 + FN rad(x))
dp1 = dp1 + FN rad(y)
ENDIF
NEXT ss //ITERATION
END
PROCEDURE polkappe
REM POLKAPPE
REM METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
REM BEDINGUNGSGLEICHUNG dp=dpw+(sin(w)/sin(f)) dz+(cos(w)/sin(f))*sin(s) dl
REM NORMALGLEICHUNG FšR 3 UNBEKANNTE
REM p dpw + [px] dz + [py] dl = [pdP],1,0,0
REM [px] dpw + [pxx] dz + [pxy] dl = [pdPx],0,1,0
REM [py] dpw + [pxy] dz + [pyy] dl = [pdPy],0,0,1
REM ----------------
x = 0
y = 0
xx = 0
yy = 0
xy = 0
dp = 0
dpx = 0
dpy = 0
dpdp = 0
p = 0
REM AKKUMULATION
FOR i = 1 TO n1
p = p + g(i)
x = x + a1(i) * g(i)
y = y + b1(i) * g(i)
xx = xx + a1(i) * a1(i) * g(i)
yy = yy + b1(i) * b1(i) * g(i)
xy = xy + a1(i) * b1(i) * g(i)
dp = dp + dp1(i) * g(i)
dpx = dpx + dp1(i) * a1(i) * g(i)
dpy = dpy + dp1(i) * b1(i) * g(i)
dpdp = dpdp + dp1(i) * dp1(i) * g(i)
NEXT i
REM ---------------
resi = 4 //EINTRAG ANZAHL RESIDUEN
m = 3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN
n = 3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE
REM ----------------
m = m + resi
p(1,1) = p
p(1,2) = x
p(1,3) = y
p(1,4) = dp //1. RESIDUENVEKTOR
p(1,5) = 1 //2. RESIDUENVEKTOR
p(1,6) = 0
p(1,7) = 0
REM -------------------
p(2,1) = x
p(2,2) = xx
p(2,3) = xy
p(2,4) = dpx //1. RESIDUENVEKTOR
p(2,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(2,6) = 1
p(2,7) = 0
REM -------------------
p(3,1) = y
p(3,2) = xy
p(3,3) = yy
p(3,4) = dpy //1. RESIDUENVEKTOR
p(3,5) = 0 //2. RESIDUENVEKTOR
p(3,6) = 0 //3. RESIDUENVEKTOR
p(3,7) = 1 //4. RESIDUENVERTOR
GOSUB elim
REM FEHLERQUADRATSUMME
vv = dpdp - dp * ko1(1,1) - dpx * ko1(2,1) - dpy * ko1(3,1)
s = ABS(vv / (n1 - 3))
s1 = SQR(s)
mfx = SQR(ABS(s * ko1(1,2)))
mfy = SQR(ABS(s * ko1(2,3)))
mfz = SQR(ABS(s * ko1(3,4)))
REM OUTPUT ----------------------------------------
IF s2 = 3 THEN
CLS
PRINT "AREOZENTR. BREITE SCHWERPUNKT POLKAPPE bk: ";FN deg(bk);" GRAD"
PRINT "AREOGRAPH. LÄNGE SCHWERPUNKT POLKAPPE Lk: ";FN deg(lk);" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dpw: ";FN deg(ko1(1,1));" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dz: ";FN deg(ko1(2,1));" GRAD"
PRINT "KOEFFIZIENT dl: ";FN deg(ko1(3,1));" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER dpw: ";FN deg(mfx);" Grad"
PRINT "MITTL. FEHLER dz.: ";FN deg(mfy);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER dl.: ";FN deg(mfz);" GRAD"
PRINT "MITTL. FEHLER EINER EINZELMESSUNG: ";FN deg(s1);" GRAD"
PRINT "FEHLERQUADRATSUMME: ";FN deg(vv)
ENDIF
RETURN
PROCEDURE elim
FOR j = 1 TO n - 1 //GAUSS ELIMINATION
nr = j
no = ABS(p(j,j))
FOR i = j + 1 TO n //ZEILENPIVOT
noo = ABS(p(i,j))
EXIT IF (noo - no) < 0
no = noo
nr = i
NEXT i
IF nr = j THEN
GOTO jum2
ENDIF
FOR i = j TO m + 1
no = p(nr,i)
p(nr,i) = p(j,i)
p(j,i) = no
NEXT i
jum2:
FOR i = j + 1 TO m + 1
p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)
NEXT i
FOR i = j + 1 TO n
FOR k = j + 1 TO m + 1
p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)
NEXT k
NEXT i
NEXT j
FOR i = 1 TO (m + 1) - n
ko1(n,i) = p(n,n + i) / p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION
FOR k = 1 TO n - 1
l = n - k
ko1(l,i) = p(l,n + i)
FOR s = l + 1 TO n
ko1(l,i) = ko1(l,i) - p(l,s) * ko1(s,i)
NEXT s
NEXT k
NEXT i
RETURN
PROCEDURE reduk //MARSKOORDINATEN ÄQUINOKTIUM DES DATUMS ZU J2000
jdo = jd
to = (jdo - 2451545) / 36525
t = (2451545 - jdo) / 36525
GOSUB pre
dm1 = ASIN(SIN(dm) * COS(w3) + COS(dm) * SIN(w3) * COS(ar + w1))
y = (COS(dm) * SIN(ar + w1)) / COS(dm1)
x = (-SIN(dm) * SIN(w3) + COS(dm) * COS(w3) * COS(ar + w1)) / COS(dm1)
IF x <= -0.999999999999 THEN
ar1 = FN r(PI + w2)
ELSE
ar1 = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)
ENDIF
dm = dm1 //DEKLINATION MARS J2000
ar = ar1 //REKTASZENSION (AR) MARS J2000
RETURN
PROCEDURE pre
w1 = RAD(((2306.218 + 1.3966 * to - 0.00014 * to * to) * t + (0.3019 - 0.00035 * to) * t * t + 0.018 * t * t * t) / 3600)
w2 = RAD(((2306.218 + 1.3966 * to - 0.00014 * to * to) * t + (1.095 + 0.00007 * to) * t * t + 0.0182 * t * t * t) / 3600)
w3 = RAD(((2004.311 - 0.8533 * to - 0.00022 * to * to) * t + (-0.4267 - 0.00022 * to) * t * t - 0.04183 * t * t * t) / 3600)
RETURN
Schnittpunkt des Marsäquators mit dem Erdäquator:
J1 = 90° - d1, N1 = a1+90° Grad)
J1 = PI/2 - d
1, N1 = FN r(a1+PI/2) (in rad).
J1 = Winkel des Marsäquatorebene gegen die Erdäquatorebene (in Grad), N1 = Rektaszension des aufst. Knotens der Marsäquatorebene auf der Erdäquatorebene (in Grad).
Beispiel: Marsnordpol: d1=52.786°, a1=317.488° (J1971.5).
J1 37.214° = 90° - 52.786°, N1 47.488° = 317.488°+90°; Äquinoktium J1971.5.
Schnittpunkt des Marsäquators mit der Ekliptik. Die Transformation der äquatorialen Polkoordinaten d
1, a1 in
ekliptikale Koordinaten, ergibt die auf die Ekliptik bezogenen Rotationselemente i und W. i=Winkel den
Marsäquatorebene mit der Erdbahnebene (Ekliptik) einschließt, W = ekl. Länge des Schnittpunktes (Knoten) des
Marsäquators auf der Ekliptik.
Ekliptikschiefe (RAD): ec=0.409092804-0.00022696552*T-2.860401E-09*T*T; T=(JD-2451545)/36525; JD=julian. Datum.
ep = ARCSIN(sin(d1) cos(ec)-cos(d1) sin(ec) sin(a1))
x=(cos(d1) cos(
a1))/cos(ep)
y=(sin(d1) sin(ec)+cos(d1) cos(ec) sin(a1))/cos(ep)
el=ARCTAN(y/(1+x))*2; el negativ +360 (oder 2*PI bei Rechnung in RAD) addieren.
ep,el=ekliptiakle Breite und Länge des Marsnordpols.
i = 90° - ep, W = el+90°.
i = Winkel der Marsäquatorebene gegen die Ekliptikebene (in Grad), W = ekl. Länge des Knotens der Marsäquatorebene auf der Ekliptikebene (in Grad).
REM Numerisches Beispiel.
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
REM ------------------
dp1 = FN rad(52.786)
ap1 = FN rad(317.488)
jd = 2441135 //2.7.1917 = J1971.5
t = (jd - 2451545) / 36525
ec = 0.409092804 - 0.00022696552 * t - 2.860401E-09 * t * t
ep = ASIN(SIN(dp1) * COS(ec) - COS(dp1) * SIN(ec) * SIN(ap1))
x = (COS(dp1) * COS(ap1)) / COS(ep)
y = (SIN(dp1) * SIN(ec) + COS(dp1) * COS(ec) * SIN(ap1)) / COS(ep)
el = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
i = PI / 2 - ep
k = FN r(el + PI / 2)
REM ---------------------
PRINT FN deg(dp1) //52.786° Deklin. Marnordpol
PRINT FN deg(ap1) //317.488° AR Marsnordpol
PRINT FN deg(ep) //63.2827° ekl. Breite Marsnordpol
PRINT FN deg(el) //352.5721° ekl. Länge Marsnordpol
PRINT FN deg(i) //26.7172° Winkel Marsäquator-/Ekliptikebene
PRINT FN deg(k) //82.5721° ekl. Länge des Knotens
PRINT FN deg(ec) //23.442997° mittl. Ekliptikschiefe
Kreiselbewegung der Marsachse um den Pol der Marsbahn. Die Polkoordinaten der Marsachse d1, a1 liegen im
Raum nicht fest, sondern unterliegen einer langsamen Änderung durch die Kreiselbewegung der Mars- und Erdachse.
Die Präzession der Erdachse bzw. Marsachse um den Bahnpol der Erdbahnebene bzw. Marsbahnebene, stellt man
an der westl. Bewegung des aufsteigenden Knotens der Erdäquator-/Erdbahnebene bzw. Marsäquator-/Marsbahneben (= Frühlingsüquinoktium) fest (Präzession der Äquinoktien).;
Der Frühlingspunkt ist der Nullpunkt der Koordinatenzählung (ekl. Länge u. Rektaszension), wodurch die Längenkoordinate der Gestirne stetig um den Betrag der Präzession wächst. Die Koordinaten können sich daher
entweder auf das Frühlingsäquinoktium des Datums oder einer festen Standardepoche (Besselscher Jahresanfang B1950, oder julian. Jahresanfang J2000=1.1.2000, 12h TT) beziehen.
Der Frühlingspunkt der Erde und der des Mars wandert um folg. Präzessionsbetrag jährl. nach Westen: 50.29'' u. 7.11-7.55''.
Änderung der Polkoordinaten des Mars lt. IAU 1994 (Epoche J2000):
-0.108° * T in Rektaszension -0.061° * T in Deklination pro julian. Jarhundert.
T=(JD-2451545)/36525 (36525=Tage des julian. Jahrhunderts). Jährliche Präzession 7.55''.
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI) //RAD IN GRAD
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180) //GRAD IN RAD
REM ----------------------
jd = 2441174.541667 //11.8.1971, 1h TT
t = (jd - 2451545) / 36525
dp1 = FN rad(52.786)
ap1 = FN rad(317.488)
ec = 0.409092804 - 0.00022696552 * t - 2.860401E-09 * t * t
i = FN rad(1.84973 - 0.000601 * t + 0.00001276 * t * t)
k = FN rad(49.5581 + 0.7720923 * t + 0.0000161 * t * t)
REM -----------------------
db = ASIN(COS(i) * COS(ec) - SIN(i) * SIN(ec) * COS(k))
x = (SIN(i) * SIN(k)) / COS(db)
y = (-COS(i) * SIN(ec) - SIN(i) * COS(ec) * COS(k)) / COS(db)
ab = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
j2 = PI / 2 - db //J2 (s. S. 142)
n2 = FN r(ab + PI / 2) //N2 (s. S. 142)
REM -----------------
ia = ACOS(SIN(db) * SIN(dp1) + COS(db) * COS(dp1) * COS(ap1 - ab))
x = (-COS(dp1) * SIN(db) + SIN(dp1) * COS(db) * COS(ap1 - ab)) / SIN(ia)
y = (COS(db) * SIN(ap1 - ab)) / SIN(ia)
w = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)
del = PI - w
REM ---------------------------------
myd = -(755 / 3600) * SIN(ia) * SIN(del)
mya = -(755 / 3600) * SIN(ia) * COS(del) / COS(dp1)
PRINT myd //PRÄZESSION NP MARS -0.061;(248);/JAHRH. DEKLIN.
PRINT mya //PRÄZESSION NP MARS -0.108;(248);/JAHRH. AR
PRINT
PRINT FN deg(dp1) //DEKLIN. NP MARS 52.786°
PRINT FN deg(ap1) //AR NP MARS 317.488°
PRINT FN deg(ec) //23.435599° MITTL. EKLIPTIKSCHIEFE
PRINT FN deg(i) //1.8499° MITTL. NEIGUNG DER MARSBAHN- GEGEN DIE ERDBAHNEBENE
PRINT FN deg(k) //49.3888° EKL. LÄNGE DES KNOTENS
PRINT FN deg(db) //65.32136° DEKLIN. POL DER MARSBAHNEBENE
PRINT FN deg(ab) //273.3623° AR POL DER MARSBAHNEBENE
PRINT FN deg(j2) //24.6786° WINKEL MASRBAHN-/ERDÄQUATOREBENE
PRINT FN deg(n2) //3.36229° AR KNOTEN
PRINT FN deg(ia) //25.19° WINKEL MARSÄQUATOR-/MARSBAHNEBENE
PRINT FN deg(w) //136.92079^° LÄNGE AUF DER MARSBAHN VON N2,J2 ZUM KNOTEN MARSÄQUATOR-/MARSBAHNEBENE
PRINT FN deg(del) //43.0792° LÄNGE AUF DEM MARSÄQUATOR AB N1,J1 ZUM KNOTEN DER MARSÄQUATOR- AUF DER MARSBAHNEBENE
Die Juli 1971 bestimmten Koordinaten des Marsnordpols ind daher noch für die Präzession der Marsachse zu korrigieren.
JD=2441135 (=J1971.5):
d1 52.886° J2000 = 52.904°-0.061°*((2451545-JD)/36525).
a
1 317.685° J2000 = 317.716°-0.108°*((2451545-JD)/36525).
Koordinaten des Marsnordpols, Äquinoktium der Epoche J2000 (1.1.2000, 12 Uhr TT =JD 2451545):
d1=52.886°-0.061°*T.
a1=317.685°-0.108°*T.
T=(JD-2451545)/36525.
IAU (1991,1994) Koordinaten des Marsnordpols, Äquinoktium J2000:
(lt. >Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac<, University Science Books, Mill Valley, California, 1992, p 403).
d1=52.886°-0.061°*T.
a
1=317.68°-0.108°*T.
T=(JD-2451545)/36525.
Position der Marsachse (II) aus Messungen von Oberflächenmerkmalen
Der zuvor beschrittene Lösungsweg findet die Deklination und Rektaszension der Rotationsachse des Marsnordpols an der scheinbaren Himmelskugel, lediglich nach Positionswinkelmessung des Polflecks bzw. der
Marsachse. Die Polachse wird nachfolgend durch Messung von Merkmalen der Marsoberfläche bestimmt (digitale Vermessungstechniken von CCD-Aufnahmen s. “Sternbeobachtung”).
Konversion Polarkoordinaten Positionswinkel- (pw) und Distanzenmessungen (d) eines Punktes der Marsoberfläche vom scheinbaren Marsmittelpunkt in zweidimensionale kartesische Koordinaten x,y:
x=d*sin(pw)
y=d*cos(pw)
Lonversion kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten:
d=Å(x*x+y*y)
x1=x/d
y1=y/d
ps=ARCTAN(x/(1+y))*2.
d=gemessene Distanz Oberflächenmerkmal - scheinbarer Marsmittelpunkt in Bogensekunden. ps=Positionswinkel dieses Punktes ab irdisch Nord entgegen dem Uhrzeigerinn 0 bis 360 Grad gemessen. dm, ar, rm (AE) =
Deklination, Rektaszension und Entfernung des Mars.
sig=areozentrischer Grokreisbogen zwischen scheinbarer Marsmittelpunkt und Oberflächenmerkmal.
bet=Breite dieses Punktes über dem durch den scheinbaren Marsmittelpunkt verlaufenden geozentrischen Großkeis.
len=Länge dieses Punktes, gezählt ab dem scheinbaren Marsmittelpunkt auf dem durch denselben verlaufenden Großkeis.
Deklin. dieses Großkreispols: D=90° minus Deklination Mars; Rektaszension dieses Großkreispols: A = Rektaszension des Mars bei südl. Deklin., A = Rektaszension des Mars bei nördl. Deklin. ±
180 Grad.
Der Neigungswinkel des durch den Marsmittelpunkt verlaufenden Großkreises mit dem Erdäquator entspricht der Marsdeklination.
Das folg. Programm reduziert die gemessenen Werte (scheinbare Winkeldistanz d und Positionwinkel ps) auf das mittlere Äquinoktium J2000 (etwa für ±150 Jahre ab Epoche J2000 brauchbar).
REM GFA-BASIC PROGR. FÜR WINDOWS -----------------
REM KORREKTUR DER GEMESSENEN DISTANZ d UND POSITIONSWINKEL ps
REM FšR REFRAKTION, ABBERATION IN WINKELDISTANZ UND
REM PRZÄESSION, NUTATION U. ABERRATION IN POSITIONSWINKEL
REM REDUKTION MESSUNG AUF DAS MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000
DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)
DEFFN rad(x) = x * (PI / 180)
DEFFN deg(x) = x * (180 / PI)
REM INPUT --------------
REM KORREKTIION FÜR REFRAKTION
rh = 0.5 //EINTRAG RELATIVE LUFTFEUCHTIGKEIT (HYGROMETERSTAND 0...1 = 0..100 %)
tem = 5 //EINTRAG LUFTTEMPERATUR IN GRAD CELSIUS IN H™HE šBER NN
mb = 1027 //EINTRAG LUFTDRUCK IN H™HE eh METER ber NN IN MILLIBAR (mb); k=REFRAKTIONSINDEX DER LUFT IN RAD
REM -----------------------------------
ep = 2000 //EINTRAG EPOCHE-JAHR J2000
ddt = 0 / 3600 //TT=UT+ddt EINTRAG KORREKTIONSWERT FšR EPHEMERIDENZEIT (SEK.)
ar = FN rad(300) //EINTRAG SCHEINBARE REKTASZENSION MARS
dm = FN rad(-23) //EINTRAG SCHEINBARE DEKLINATION MARS
geob = FN rad(50) //EINTRAG GEOGRAPH. BREITE DER BEOBACHTUNGSSATION
geol = 10 //EINTRAG GEOGRAPH. LÄNGE (stl. plus, westl. negativ) DER BEOBACHTUNGSSTATION (GRAD)
REM EINTRAG RECHTECKMESSUNG x,y -------
REM xo=3
REM yo=3
REM do=SQR(xo*xo+yo*yo) //DISTANZ
REM x1=xo/do
REM y1=yo/do
REM po=FN r(ATN(x1/(1+y1))*2) //POSITIONSWINKEL
REM ---------
do = 1 //EINTRAG SCHEINBARER (GEMESSENE MIT FREFARKTION BEHAFTETE) WINKELDISTANZ (BOGENSEKUNDEN)
po=FN rad(20.9623) //EINTRAG (GRAD) SCHEINBARER (GEMESSENER MIT REFRAKTION BEHAFTETER) POSITIONSWINKEL, ÄQUINOKTIUM DES DATUMS
REM DATUM -----------------------
a2 = 1 //EINTRAG TAG
a3 = 1 //EINTRAG MONAT
a4 = 1971 //EINTRAG JAHR
ut = 1 //EINTRAG UHRZEIT UT (Std. dezimal)
GOSUB jd
REM FORMATION ------------------------------------------
REM SCHEINBARE POSITION DES DATUMS ------
jdbe = jd + (ut + ddt) / 24 //JULIAN. DATUM TT BEOBACHTUNGSZEIT
jdut = jd + ut / 24 //JULIAN. DATUM UT BEOBACHTUNGSZEIT
jdep = 2451545 + 365.25 * (ep - 2000) //JULIAN. DATUM QUINOKTIAL-EPOCHE
REM OPERATION ------------------
tt = jdbe - 2451545
t2 = tt / 36525
t3 = tt / 365.25
t4 = (jdbe - jdep) / 365.25
t = t2
ts = (jd - 2451545) / 36525
GOSUB nut
f7 = 0.409092804 - 0.00022696552 * t - 2.860401E-09 * t * t
ec = f7 + FN rad(nu1 / 3600) //WAHRE EKLIPTIKSCHIEFE
GOSUB osz
GOSUB refrak //REM GOSUB refrak SETZEN, WENN OHNE REFRAKTION
flag = 0 //flag=1 SETZEN, WENN OHNE REFRAKTION
IF flag = 1 THEN
d1 = do
p1 = po
ENDIF
ro = d1
p = FN deg(p1)
GOSUB bes
CLS
REM OUTPUT -------------------------------------
PRINT "BESSELSCHE TAGESZAHLEN:"
PRINT "A: ";aa;" ''"
PRINT "B: ";bb;" ''"
PRINT "C: ";cc;" ''";
PRINT "D: ";dd;" ''"
PRINT "JAHRESBRUCHTEIL: ";to
PRINT "WINKELDISTANZ DES DATUMS (MIT REFRAKTION) : ";do;" ''"
PRINT "POSITIONSWINKEL DES DATUMS (MIT REFRAKTION) : ";FN deg(po);"; GRAD"
PRINT "WINKELDISTANZ DES DATUMS (OHNE REFRAKTION): ";ro;" ''"
PRINT "POSITIONSWINKEL DES DATUMS (OHNE REFRAKTION): ";p;" GRAD"
PRINT "ABBERATION IN WINKELDISTANZ: '";da;" ''"
PRINT "PRZÄESSION+NUTATION+ABERRATION IN POSITIONSWINKEL: ";FN deg(pd2);" GRAD"
PRINT "MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000:"
PRINT "WAHRE WINKELDISTANZ J2000: '";ro - da;" ''"
PRINT "MITTL. POSITIONSWINKEL J2000: ";FN deg(FN r(FN rad(p) - pd2));" GRAD"
END
PROCEDURE jd //JULIAN. DATUM
jd = 1720996.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))
RETURN
PROCEDURE osz //ORTSSTERNZEIT
f8 = 6.697374558333 + 2400 * ts + 0.05133690722222 * ts
f8 = f8 - INT(f8 / 24) * 24
f9 = f8 + ut * 1.002737909 + geol / 15 + (nu / (15 * 3600)) * COS(ec)
sz = f9 - INT(f9 / 24) * 24
osz = FN rad(sz * 15)
RETURN
PROCEDURE nut //NUTATION
REM DELAUNAY-ELEMENTE
d = FN r(5.19846674103 + 7771.377146812 * t - 0.00002844935162119 * t * t)
ll = FN r(6.24006012668 + 628.301955168 * t - 2.680534842855E-06 * t * t)
l = FN r(2.3555558983 + 8328.691426955 * t + 0.0001570277576156 * t * t)
f = FN r(1.627905245249 + 8433.466158131 * t - 0.00005939210000432 * t * t)
af = FN r(2.182439206137 - 33.75704460827 * t + 0.00003623594415349 * t * t + 3.7340349719E-08 * t * t * t)
REM NUTATION IN LNGE IAU 1980 (ANZAHL TERME GEKšRZT)
nu=(-171996-174.2*t)*SIN(af)+(2062+0.2*t)*SIN(2*af)+46*SIN(-2*l+2*f+af)+11*SIN(2*l-2*f)-3*SIN(-2*l+2*f+2*af)-3*SIN(l-l l-d)-2*SIN(-2*ll+2*f-2*d+af)+1*SIN(2*l-2*f+af)+(-13187-1.6*t)*SIN(2*f-2*d+2*af)+(1426-3.4*t)*SIN(ll)
nu=nu+(-517+1.2*t)*SIN(ll+2*f-2*d+2*af)+(217-0.5*t)*SIN(-ll+2*f-2*d+2*af)+(129+0.1*t)*SIN(2*f-2*d+af)+48*SIN(2*l-2*d)- 22*SIN(2*f-2*d)+(17-0.1*t)*SIN(2*ll)-15*SIN(ll+af)+(-16+0.1*t)*SIN(2*ll+2*f-2*d+2*af)-12*SIN(-ll+af)
nu=nu-6*SIN(-2*l+2*d+af)-5*SIN(-ll+2*f-2*d+af)+4*SIN(2*l-2*d+af)+4*SIN(ll+2*f-2*d+af)-4*SIN(l-d)+1*SIN(2*l+ll-2*d)+1* SIN(-2*f+2*d+af)-1*SIN(ll-2*f+2*d)+1*SIN(ll+2*af)+1*SIN(-l+d+af)-1*SIN(ll+2*f-2*d)
nu=nu+(-2274-0.2*t)*SIN(2*f+2*af)+(712+0.1*t)*SIN(l)+(-386-0.4*t)*SIN(2*f+af)-301*SIN(l+2*f+2*af)-158*SIN(l-2*d)+123* SIN(-l+2*f+2*af)+63*SIN(2*d)+(63+0.1*t)*SIN(l+af)+(-58-0.1*t)*SIN(-l+af)-59*SIN(-l+2*f+2*d+2*af)-51*SIN(l+2*f+af)
nu = nu / 10000
REM NUTATION IN SCHIEFE
nu1=(92025+8.9*t)*COS(af)+(-895+0.5*t)*COS(2*af)-24*COS(-2*l+2*f+af)+1*COS(-2*l+2*f+2*af)+1*COS(-2*ll+2*f-2*d+af)
+(5736-3.1*t)*COS(2*f-2*d+2*af)+(54-0.1*t)*COS(ll)+(224-0.6*t)*COS(ll+2*f-2*d+2*af)
nu1=nu1+(-95+0.3*t)*COS(-ll+2*f-2*d+2*af)-70*COS(2*f-2*d+af)+1*COS(2*l-2*d)+9*COS(ll+af)+7*COS(2*ll+2*f-2*d+2*af)
+6*COS(-ll+af)+3*COS(-2*l+2*d+af)+3*COS(-ll+2*f-2*d+af)-2*COS(2*l-2*d+af)
nu1 = nu1 / 10000
RETURN
PROCEDURE bes
jdn = 2451545 + 365.25 * ((a4 + 0.5) - 2000) //JULIAN. DATUM DER JAHRESMITTE
pd = (0.0000971712061 * SIN(ar) / COS(dm)) * t4 //PRZESSIONRATE IN t4 JAHREN AB EPOCHE jdep
REM lms,ms,ls = geometr. mittl. L„nge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre L„nge der Sonne
lms = FN r(4.895063 + 628.3319667861 * t + 5.291838292E-06 * t * t)
ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t - 2.7209683038E-06 * t * t)
c = (0.03341607386 - 0.00008407251 * t - 2.44346E-07 * t * t) * SIN(ms) + (0.0003489436 - 1.76278E-06 * t) * SIN(2 * ms)
l = FN r(lms + c)
e = 0.01670862 - 0.000042037 * t - 1.236E-07 * t * t
pe = FN rad(102.937348 + 0.7195269 * t + 0.00045962 * t * t)
rs = 1 * ((1 - e ^ 2) / (1 + e * COS(v)))
REM BESSELSCHE TAGESZAHLEN A,B,C,D ------
ju = FN rad(34.35148392 + 3036.3027889 * t + 0.00022374 * t * t)
sa = FN rad(50.077471 + 1223.5110141 * t + 0.00051952 * t * t)
to = (jdbe - jdn) / 365.25 //JAHRESBRUCHTEIL
REM BESSELSCHE TAGESZAHLEN A,B,C,D (=aa,bb,cc,dd) IN BOGENSEKUNDEN
aa = 20.043 * to + SIN(ec) * nu
bb = -nu1
cc = -20.49552 * COS(l) * COS(ec) - 0.0079 * COS(f + af) - 0.0086 * COS(ju) - 0.0019 * COS(sa) + 20.49552 * e * COS(ec) * COS(pe)
dd = -20.49552 * SIN(l) - 0.0079 * SIN(f + af) - 0.0086 * SIN(ju) - 0.0019 * SIN(sa) + 20.49552 * e * SIN(pe)
REM KORREKTION DES POSITIONSWINKELS FšR PRZESSION, NUTATION UND ABERRATION
a = SIN(ar) * TAN(dm)
b = COS(ar) * TAN(dm)
c = COS(ar) / COS(dm)
d = SIN(ar) / COS(dm)
pk1 = cc * b + dd * a //ABERRATION
pk2 = aa * d + bb * c //PRZESSION + NUTATION
pk = pk1 + pk2
pd1 = 0.000097171206 * d * t4 //PRZESSIONSRATE IN t4 JAHREN AB EPOCHE jdep
pd2 = pd1 + FN rad(pk / 3600) - 0.000097171206 * d * to //KORREKTION DES POSITIONSWINKELS (p+pd2) FšR PRZESSION + NUTATION
c1 = -(ro * (TAN(ec) * SIN(dm) + SIN(ar) * COS(dm))) / 206264.806
d1 = (ro * COS(ar) * COS(dm)) / 206264.806
da = (c1 * cc + d1 * dd) //ABERRATION IN WINKELDISTANZ
RETURN
PROCEDURE refrak
k = 0.0002927305 * (mb / 1013.33) * (273.15 / (273.15 + tem)) - 5.333E-08 * ABS(-4.067 + 0.008207 * mb) * rh * (273.15 / (273.15 + tem))
tw = FN r(osz - ar) //tw=STUNDENWINKEL, osz = ORTSSTERNZEIT
z = ACOS(SIN(geob) * SIN(dm) + COS(geob) * COS(dm) * COS(tw)) //ZENITDISTANZ
x = (SIN(geob) * COS(dm) - COS(geob) * SIN(dm) * COS(tw)) / SIN(z)
y = COS(geob) * SIN(tw) / SIN(z)
et = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2) //PARALLAKTISCHER WINKEL
o = ATN(TAN(z) * SIN(et) * TAN(dm))
REM KORREKTION FšR POLARKOORDINATEN -----------------------
d1 = do + do * k * (1 + COS(ps - et) ^ 2 * TAN(z) ^ 2) //d1=VON REFRAKTION BEFREITE DISTANZ
p1 = FN r(po - k * (TAN(z) * SIN(et) * TAN(dm) + COS(ps - et) * SIN(ps - et) * TAN(z) ^ 2)) //p1=VON REFRAKTION
BEFREITER POSITIONSWINKEL
REM KORREKTION FšR KARTESISCHE KOORDINATEN x,y-----------
REM do=SQR(xo*xo+yo*yo)
REM dx=do*k*((COS(ps-et)*SIN(et)*TAN(z)^2+SIN(ps-o)/COS(o))/COS(dm)) //dx=DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN AR
REM dy=do*k*(COS(ps-et)*COS(et)*TAN(z)^2+COS(ps-o)/COS(o)) //dy=DIFFERENTIELLE REFRAKTION IN DEKLIN.
REM x=xo+dx
REM y=yo+dy
REM d1=SQR(x2*x2+y2*y2) //DISTANZ ('')
REM x1=x/d1
REM y1=y/d1
REM p1=FN r(ATN(x1/(1+y1))*2) //POSITIONSWINKEL (rad)
RETURN
d=wahre Winkeldistanz J2000.
pw=mittl. Positionswinkel J2000
sig=arcsin(SIN(FN rad(d/3600))/SIN(FN rad(ao/3600))-FN rad(d/3600))
bet=arcsin(sin(sig)*cos(pw))
len=-arctan(tan(sig)*sin(pw))
Da Breite (bet) und Länge (len) des gemessenen Oberflächenmerkmals sich auf den durch den scheinbaren
Marsmittelpunkt verlaufenden Großkreis beziehen, sind bet und len auf die Erdäquatorebene (bet1,len1) zu reduzieren.
REM CHECK-PROGR.
DEFFN r(x)=x-INT(x/(PI*2))*(PI*2) //REDUKTION AUF INTERVALL 0<=x<=PI*2
DEFFN rad(x)=x*(PI/180) //GRADMASS IN RAD
DEFFN deg(x)=x*(180/PI) //RAD IN GRADMASS
ao=4.84/rm //SCHEINBARER WINKELRADIUS ao MARS IN BOGENSEK. IN rm AE ERDENTFERNUNG
REM SIG=PLANETOZENTRISCHER BOGEN GEMESSENER PUNKT - PLANETENZENTRUM
sig=ASIN(SIN(FN rad(d/3600))/SIN(FN rad(ao/3600))-FN rad(d/3600))
REM AUF DEN GROSSKREIS BEZOGENE BREITE UND LNGE DES OBERFLÄCHENMERKMALS
bet=ASIN(SIN(sig)*COS(pw)) //ASIN(x)=ARCSIN(x)
len=-ATN(TAN(sig)*SIN(pw)) //ATN(x)=ARCTAN(x)
REM DREHUNG DES GROSSKREISES UM DEN WINKEL DER MARSDEKLIN.
x=COS(bet)*COS(len+PI/2) //KART. KOORDINATEN
y=COS(bet)*SIN(len+PI/2)
z=SIN(bet)
REM DREHMATRIX dm=DEKLIN. MARS J2000
x1=x
y1=z*SIN(dm)+y*COS(dm)
z1=z*COS(dm)-y*SIN(dm)
REM bet1,len1 = AUF DIE ERDQUATOREBENE BEZOGENE BREITE UND LNGE DES OBERFLCHENMERKMALS
bet1=ASIN(z1)
x2=x1/COS(bet1)
y2=y1/COS(bet1)
len1=FN r(PI*2-ATN(x2/(1+y2))*2-PI+ar)
REM --------------------------------------------------------------
REM DARAUS RESULTIERENDE PLANETOZENTRISCHE BREITE (b) UND LNGE (lo)
REM d1 ,a1=DEKLIN. UND AR MARSNORDPOL IN RAD
REM J1,N1=WINKEL U. KNOTEN DES MARSQUATORS AUF DEM ERDQUATOR (RAD)
J1=PI/2-d1
N1=FN r(a1+PI/2)
REM De,K=AREOZENTR. DEKLIN. DER ERDE AN DER MARSSPHRE, K=AREOZENTR. POLWINKEL DER ERDE, dm,ar=DEKLIN. U. AR MARS J2000
De=ASIN(-SIN(
d1)*SIN(dm)-COS(d1)*COS(dm)*COS(a1-ar))
y=(-COS(d1)*SIN(dm)+SIN(d1)*COS(dm)*COS(a1-ar))/COS(dek)
x=(COS(dm)*SIN(
a1-ar))/COS(dek)
IF x<=-0.9999999999 THEN
K=PI
ELSE
K=FN r(ATN(y/(1+x))*2)
ENDIF
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usw. Dasselbe gilt für das Recht der öffentlichen Wiedergabe. Copyright © by H. Schumacher, Spaceglobe. |
